Материал: Симонов Томографические измерителные информационные системы 2011

Тогда (2.24) можно записать как

Важным является вопрос: насколько точно величина Р(Е0) оценивает −ln (ρрρк ) ? Иначе, необходимо определить дисперсию величины Р(Е0) как функцию (2.24).

Учитывая, что P(E0 ) ≈ −ln (AE0 CE0 ) и обозначая Р(Е0) = у,

dр nр ρр σр = x1 , dэ nр ρэ σэ = x2 , dр nк ρк σр = x3 , dэ nк ρэ σэ = x4 ,

можно записать

y = −ln x1 + ln x2 −ln x3 + ln x4 .

Принимая во внимание, что для некоррелированных величин х возможно нахождение дисперсии функции y как [29]

а также, что величины х распределены по закону Пуассона [28] с математическим ожиданием равным дисперсии, получим дисперсию величины Р(Е0)

даст точную оценку−ln (ρрρк ) .

Необходимо отметить, что один из способов сделать величину ДP(E0 ) малой заключается в том, чтобы число фотонов, вылетаю-

щих из источника (пк и пр) было большим. Если исключить проблему перегрузок детекторов, то нет ограничений сделать пк достаточно большим и тем самым сделать пренебрежимо малым два по-

96

следних члена в выражении (2.28). В этом случае очевидно, что величина ДP(E0 ) обратно пропорциональна величине пр. Но число

фотонов, покидающих источник во время проведения рабочих измерений, нельзя сделать произвольно большим, так как это приводит к недопустимо большой дозе облучения пациента и может замедлить процесс снятия проекций. Поэтому погрешности, связанные с перемещениями, могут быть весьма большими. Однако следует отметить, что если пропускание ρэ вещества, находящегося между источником и эталонным детектором, будет относительно большим (около 1), то второй член в выражении (2.28) становится пренебрежимо малым. Это приводит к выражению

которое, показывает, что погрешность в оценке −ln (ρp ρc ) – за-

висит от пропускания ρр во время проведения рабочих измерений, а именно: уменьшение пропускания ведет к увеличению погрешности, что характерно для участков с большей толщиной исследуемого объекта.

Как видно из сказанного выше, погрешности измерений, обусловленные статистической природой процессов рентгеновского излучения фотонов, их взаимодействия с веществом и детектирования являются неизбежными.

2.2.2.Нелинейность, вызванная изменением энергетического спектра рентгеновского излучения и рассеянным излучением

Сначала рассмотрим влияние энергетического спектра рентгеновского излучения, падающего на исследуемый объект, на нелинейность в определении коэффициента ослабления.

В п. 2.1.3 показано, что по мере того, как рентгеновское излучение проходит сквозь объект, низкоэнергетические составляющие затухают быстрее, чем высокоэнергетические. При этом средняя энергия квантов в пучке возрастает, т. е. он становится жестче. Для нерассеянного полиэнергетического излучения решение уравнения (2.18) можно записать в форме (2.20)

97

где J0 (E ) – интенсивность источника полиэнергетического излу-

где C0 – мощность источника излучения в направлении L, определяемая суммарной интенсивностью всех входных квантов с энергиями в интервале[E1, E2 ], а η0 (E) его спектральная плотность

E∫2 η0 (E )dE =1 .

E1

Выходную интенсивность JН (l,θ, E ) (после объекта исследова-

где Сн – мощность выходного излучения по направлению L, определяемая суммарной интенсивностью всех выходных квантов с энергиями в интервале [E1, E2 ]; ηН (E ) – спектральная плотность

выходного излучения;

E∫2 ηН (E )dE =1.

E1

Подставляя (2.31) и (2.32) в (2.30) и делая определенные преобразования, получим

Если в качестве исследуемого объекта взять водяной однородный фантом в виде диска с диаметром D, то формула (2.33) станет более простой

98

Рис. 2.11. Зависимость μ(Е) от расстояния от центра фантома. Наименьшее значение μ(Е) при L = D, когда расстояние от центра фантома равно его радиусу r

Оценим нелинейность Δμ(E ) = μ1 (E0 ) −μ2 (E) , вызванную

ужесточением выходного спектра рентгеновского излучения. Для этого аппроксимируем входной и выходной спектры рис. 2.6 кривой Гаусса

η(E ) = (2πσ2 )−12 exp(−(ξ − a)2 2σ2 ),

где а = M (ξ) – среднее значение величины ξ, а σ2=Д(ξ) – диспер-

сия величины ξ.

Для входного спектра получим

η0 (E) = (2π 13,62 )−12 exp(−(E −53,2)2 2 13,62 ), (2.35)

для выходного –

ηН (E ) = (2π 8,32 )−12 exp(−(E −70,1)2 2 8,32 ). (2.36)

Мощность входного излучения представляется, как

n

C0 = ∑J0 (E )i , (2.37) i=1

где n = 1,2,…,∞ количество отсчетов по энергии; мощность выходного излучения

100