Документ: Симонов Томографические измерителные информационные системы 2011, страницы 101-105

n

CH = ∑JH (E )i . (2.38) i−1

Мощность входного и выходного излучения определяется из спектров (см. рис. 2.6). Зависимость расстояния от центра фантома x от L, как это следует из рис. 2.10, определяется формулой

x = (r2 −(L 2)2 )1 2

или L = 2(r2 − x2 )1 2 ,

(2.39)

где r – радиус водяного однородного фантома.

Подставляя (2.35)–(2.39) в соотношение (2.34), можно численно определить μ(Е), как функцию от x, задаваясь конкретным значением r, а так же определить конкретные значения С0, Сн, η0(Е), ηн(Е) для значений Е в интервале [Е1, Е2] и значений x в интервале [0, r].

Необходимо отметить, что по формуле (2.33) можно представить для заданного значения L множество значений μ(E)i для интервала

энергий [Е1, Е2]. Поэтому на рис. 2.11 отражен как бы средний линейный коэффициент ослабления

μ(E) ≈ ∑n μ(nE)i ,

i

где n – количество значений Е из интервала [Е1, Е2].

Для r =12,5 см, C0 =105 квантов входного излучения с E0 = 53,2 кэВ, входных и выходных спектров излучения (2.35) и (2.36) соответственно будем иметь μ1 (E0 ) ≈ 0,22 1/см и для L = 2r

μ2 (E) ≈ 0,18 1/см.

Нелинейность, вызванная ужесточением выходного спектра излучения, оценивается

Δμ = μ1 (E0 ) −μ2 (E) = 0,04 1/см.

Оценить нелинейность, вызванную ужесточением выходного спектра, для практических целей с вполне достаточной степенью точности можно, исходя из найденной экспериментальной кривой μ(Е) для воды на рис. 2.5, выделив интервалы энергий эксперимен-

101

тальных входного и выходного спектров и, определив средние значения энергий этих интервалов (рис. 2.12).

μ(E )

1

μ1 (E)

μ2 (E )

0,1

E0 среднее значение E cp входного спектра

E среднее значение E

Hcp выходного спектра

50

100

E, кэВ

Выходной спектр

Входной спектр

Рис. 2.12. Пояснения к определению Δμ, вызванной ужесточением выходного спектра излучения

Определяя по	экспериментальной кривой μ от Е значения
μ1 (E) и μ2 (E) ,	которые соответствуют средним значениям энер-

гии E0ср и EНср интервалов входного и выходного спектров соот-

ветственно, определяем Δμ.

Для оценки влияния рассеянного в объекте исследования рентгеновского излучения на определение μ укажем основные положения теории переноса излучения [25]. Будем полагать, что:

1)экспоненциальное ослабление первичных фотонов играет решающую роль при распространении пучка излучения в объекте исследования. При этом ослабление первичных фотонов характеризуется значениями линейного коэффициента ослабления;

2)накопление вторичных фотонов, участвующих в рассеянии, происходит в случае, когда геометрия узкого пучка не имеет места. В качестве характеристики накопления вторичных фотонов рас-

102

ω(x, y) dL ,

сматривается отношение полного числа фотонов в какой-либо точке исследуемого объекта к числу первичных фотонов, т. е. фактор накопления, пропорциональный среднему полному пробегу фотонов от источника до точки регистрации;

3) хотя полное равновесие между поглощением первичных фотонов и накоплением вторичных не наступает, но при определенных условиях, когда имеет место условное равновесие, поглощение первичных фотонов частично компенсируется накоплением вторичных.

Основываясь на этих физических допущениях и учитывая, что в состоянии условного равновесия поток J рентгеновских фотонов на достаточно больших расстояниях от источника можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит от расстояния между источником и детектором, а другая – от энергии

E излучения и направления n1 распространения вторичных фотонов, можно построить математическую модель переноса рентгеновских фотонов в компьютерной томографии.

Без ограничения общности достаточно рассмотреть плоский случай веерного рентгеновского луча. Через z(ρ) обозначим сред-

ний полный пробег рентгеновских фотонов от источника до детектора, где ρ – нормальные координаты прямой, соединяющeй ис-

точник с детектором. Величина z(ρ) достаточно сложным образом

зависит от размеров коллиматора детектора, угла раствора плоского веерного источника и других параметров.

Поскольку энергия рентгеновского излучения, используемого в медицинской компьютерной томографии, достаточно мала, то естественно считать, что основную часть вторичных фотонов составляют однократно рассеянные фотоны. На рис. 2.13 показана область gi , в которой сосредоточены все однократно рассеянные фотоны, ре-

гистрируемые детектором с коллиматором высотой h и шириной d .

Средний полный пробег при этом можно представить в виде

z (ρ) = ∫

L Gi

103

Источник	y	где		ω(x, y) > 0			–	интегрируемая
	y							∫ ω(x, y)dL =1,
		функция такая,					что	∫ ω(x, y)dL =1,
								Gi
gi		а L – ломаная («траектория» пер-
gi	0	вичных и вторичных фотонов), со-
	0	единяющая				источник излучения с
	x	единяющая				источник излучения с
	x	детектором.
			При сформированных условиях
			пространственно-энерге-тическое
		распределение					рентгеновских фо-
h		тонов можно представить в виде
h				J (ρ, E ) =
	d			J (ρ, E ) =
	d				(E ) Z λ(E) (ρ)× , (2.40)
Рис. 2.13. Схема томографических				= C η	(E ) Z λ(E) (ρ)× , (2.40)
Рис. 2.13. Схема томографических				0
измерений с коллимированным
детектором; gi – область,						∫
из которой возможна регистрация						∫
из которой возможна регистрация				×exp −		L(ρ)	μ(r, E )dL ,
однократно рассеянных фотонов						L(ρ)
где λ(E ) > 0 – некоторая аналитически монотонная возрастающая
на [Е1, Е2], функция, значения			которой		близки			к единице при
E [E1, E2 ],	а μ(r, E ) – пространственно-энергетическое распре-
деление значений линейного коэффициента ослабления.
Введем обозначение
	F (ρ, E ) = C η(E ) Z _ λ(E) .
	0	0
Проинтегрируем (2.40) по E на отрезке [E1, E2 ], получим
	E2
			∫					(2.41)
Jμ (ρ) = ∫ F0 (ρ, E ) exp −			∫	μ(r, E)dL dE ,				(2.41)
	E1		L(ρ)
	E1		L(ρ)

где Jμ (ρ) = E∫2 J (ρ, E )dE .

E1

104

Пусть M0 – класс функций μ(r, E), кусочно-непрерывных для каждого E [E1, E2 ] и монотонно убывающих на отрезке [E1, E2 ] при каждом r A , где A = suppμ. Обозначим через M1 M0 класс функций μ(r, E), представленных в виде

(2.42)

μ(r, E ) = μ(r) +μ(E) ,

где μ(

)

– кусочно-непрерывная функция; suppμ = A , а

μ(E ) –

r

монотонно убывающая функция.

Пусть μ M0, μ M1

– такие функции, что

μ −μ

≤ m,

а

μ

=

max

2

]

max

μ(r , E )

.

[

1

E E ,E

r A

Тогда

для

непрерывной

функции

F0 (

, E) > 0 имеет место

ρ

оценка [12]

μ (

)−

(

)

μ

ρ

ε

(F , A)

=

J

≤

1

−exp{m diamA}

.

(2.43)

m

(

)

0

Jμ

ρ

Если число m достаточно мало,

то погрешность εm

замены

функции μ(

, E) функцией μ(

, E) также достаточно мала.

r

В рентгеновской компьютерной томографии человеческого тела, состоящего в основном из воды (мягкие ткани), проводится диагностика этих структур. Покажем, что для таких случаев указанное в оценке (2.43) число m достаточно мало.

На рис. 2.5 показаны графики зависимости линейного коэффициента ослабления рентгеновского излучения от энергии, который, исключая костные ткани, заключен в достаточно узкой полосе. Други-

ми словами, пусть {μi} (i = 1,2,…, n) – система монотонного убывания на отрезке [E1, E2 ] функций, характеризующих изменение ли-

нейного коэффициента ослабления рентгеновского излучения в различных видах мягких тканях.

105

Материал: Симонов Томографические измерителные информационные системы 2011

Смотрите также: