Материал: Симонов Томографические измерителные информационные системы 2011

Таким образом, в этом случае преобразование Радона функции f (x) можно записать в виде

где параметр l1 соответствует лучу, проходящему через восстанав-

ливаемую точку x .

Преобразование Радона можно модифицировать с учетом конкретных геометрических и физических особенностей проведения томографических исследований. Так, при рентгеновских исследованиях биологических объектов можно рассматривать преобразование Радона в коллимированных и расходящихся пучках, что будет показано в гл. 3.

2.3.3. Основное уравнение компьютерной томографии

Пусть функции ϕ, ψ и p суть характеристики соответственно

поля излучения, источников излучения и результатов томографических измерений, а функция f характеризует искомую плотность

пространственного распределения интересующей нас физической величины.

151

сящих от функции f F и осуществляющих отображение Ф в Ψ .

Тогда процесс распространения излучения в исследуемом объекте можно описать соотношением

Во многих случаях операторы S f такие, что существуют опера-

торы S −f 1 , обратные S f . В этих случаях решение уравнения (2.101) можно записать в виде

В компьютерной томографии типичны случаи, когда измеряют не функцию ϕ, а их косвенные проявления – интегралы от ϕ по

некоторым многообразиям (линиям). Формально это означает, что существует оператор U , действующий из пространства Ф в пространство P , такой, что

которое будем называть основным уравнением (относительно f )

компьютерной томографии.

Заметим, что соотношения (2.101)–(2.104) описывают гораздо более широкий класс задач и применимы для всех видов томографии.

Для рентгеновской компьютерной томографии при моноэнергетическом источнике рентгеновского излучения исходя из рассмотрения явлений переноса излучения в веществе и от формального описания, которое было дано в пп. 2.1, 2.2, можно записать оператор S f (используя уравнение (2.18)) в виде

S f JH ≡ n gradJH (r , n, E0 ) +μ(r , E0 ) J (r , n, E0 ) =

152

где функция f соответствует физическому параметру μ , которое мы восстанавливаем при реконструкции.

Тогда для случая использования моноэнергетического источника рентгеновского излучения, используя (2.106) и (2.107), получим основное уравнение рентгеновской компьютерной томографии

Для любой бесконечно дифференцируемой и достаточно быстро

Возникают вопросы:

1.Определяет ли однозначно задание функции P(l, θ) функцию μ(x, y) ?

2.Как по P(l, θ) найти μ(x, y) ?

Радон в [1] ответил на эти вопросы, и выше были показаны преобразования и формулы обращение Радона. Однако эти вопросы

решаемы в предположении, что f = μ(x, y) есть действительная

153

функция, определенная в R2 и удовлетворяющая условиям регулярности:

а) μ(x, y) C (R2 );

поворота декартовых координат на плоскости, то для любой точки

(x, y) R2 и любого числа r 0 lim μ(x, y, r ) = 0 .

r →∞

Таким образом, основное уравнение компьютерной томографии может быть исследовано с помощью методов интегральной геометрии Радона.

Однако при этом следует учитывать, что методы Радона позволяют получить точное решение основного уравнения компьютерной томографии лишь в тех случаях, когда выполняются выше показанные необходимые и достаточные условия, накладываемые на функ-

ции μ(x, y) , P(l, θ) и на многообразие прямых L(l, θ) . Для этого необходимо, чтобы исходные данные P(l, θ) были заданы точно.

Однако на практике проекционные данные P(l, θ) никогда не бывают заданы точно, так как КТ работает в дискретном пространстве по l и θ, а также дискретные значения измеренных P(l, θ)

имеют определенный уровень различного рода ошибок, физическая природа которых рассматривалась в п. 2.2.

Что можно при этом получить с помощью формул обращения Радона рассмотрено ниже.

2.3.4. Некорректность задачи решения основного уравнения

Выше было показано, что основная математическая задача рентгеновской компьютерной томографии может быть сведена к интегральному уравнению

154

Возникает вопрос о корректности постановки задачи (2.110). Прежде, чем перейти к анализу этой задачи, напомним опреде-

ление корректно и некорректно поставленных задач [30].

Пусть Z и U – метрические пространства и A : Z →U – непрерывный корректный по Адамару оператор, если выполняются следующие условия:

1) решение этой задачи существует для любого элемента u U ; 2) для любого z1 Ζ , z2 Ζ из того, что Az1 = Az2 вытекает

z1 = z2 , т. е. решение задачи единственно на Z ;

3) если выполнены условия 1) и 2) (т. е. существует оператор

A−1 , обратный оператору A ), то оператор A−1 непрерывен из U в Z (т. е. решение задачи устойчиво).

Если хотя бы одно из условий 1, 2 или 3 не выполняется, задача Az = u называется некорректной на паре пространств (Z, U ) или

некорректно поставленной по Адамару.

Если задача (2.110) является корректно поставленной на паре пространств (μ, P), то приближенное решение уравнения (2.110) можно искать в виде

где pδ P такое, что расстояние в пространстве P между p и pδ

ρP ( p, pδ ) ≤ δ (δ > 0) .

В этом случае из условия 3 вытекает, что расстояние в пространстве μ между μ и μδ ρμ (μ, μδ ) → 0 при δ → 0 , т. е. приближение μδ тем меньше отличается от μ , чем меньше уровень погрешности δ задания правой части pδ уравнения (2.110).

Радон [1] показал, что существуют такие пары пространств (μ, P) , для которых первые два условия выполняются, однако условие 3 может не выполняться. А это означает, что задача (2.110) является неустойчивой к малым изменениям P(l, θ) .

155