Материал: Симонов Томографические измерителные информационные системы 2011

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

d(ξ, x) ω = dx1 dx2...dxn .			(2.74)
Следуя Радону, интеграл функции		f (x) по	гиперплоскости
(ξ, x) = l зададим формулой
P(ξ,l ) = ∫	f (x)ω ,		(2.75)
(ζ,k )=l
где ориентация гиперплоскости (ξ, x) = l		выбрана так, что эта ги-

перплоскость является границей для полупространства (ξ, x) < l . Функцию P(ξ,l ) называют преобразованием Радона функции

f (x) .	ввести линейный непрерывный функционал δ(P) , где
Если
P(x) = 0	– некоторая гладкая поверхность в пространстве Rn , ко-
торый определяется с помощью формулы
	∫ f (x)δ(P)dx = ∫	f (x)ω,
	P(x)=0

учитывая, что в нашем случае P(x) = l −(ξ, x) , формулу (2.75) можно представить в следующем виде:

P(ξ,l ) = ∫ f (x)δ(l −(ζ, x))dx ,

(2.76)

интеграл при этом берется по всему пространству.

Здесь возникают классические математические вопросы:

1.Определяется ли однозначно задание функции P(ξ,l ) функцией f (х) ?

2.Как по P(ξ,l ) найти f (x) ?

Для случая n = 2, 3 , когда l = (ξ, x) прямая или плоскость, зада-

ча впервые была решена Радоном [1] и в последствии обобщена Ф. Джоном [66] для случая n >1 .

Рассмотрим более подробно преобразование Радона для случая n = 2 , имеющего большое значение для компьютерной томогра-

фии. Пусть n = 2 и в пространстве R2 задана прямая L : l = (ξ, x) и

141

функция f (x) , соотнесенные в системе координат (x1, x2 ) (рис. 2.19).

x2'

l ξ

x1'

L :← ξ1x1 +ξ2 x2 = l

Рис. 2.19. Вычисление преобразования Радона функции

f (x) вдоль прямой L

Запишем уравнение прямой L в нормальном виде

ξ1

x +

ξ2

x =

где ξ = ξ2

+ αξ2

, или

cos θ x

+ sin θ x = l

Повернем систему координат (х1, х2) на угол θ так, что в новой системе координат (x1' , x2' ) прямая L будет параллельна оси 0x2′ .

Тогда связь между старой и новой системами координат определяется формулами Эйлера

x1'x'2

x1x'2

=cosθ x1 +sin θ x2 ,

=−sin θ x1 + cosθ x2

=cos θ x1' −sin θ x2' ,

=−sin θ x1' + cos θ x2' ,

(2.77)

(2.78)

142

а уравнение прямой L будет иметь вид	ξ	x'	= l .

		1
Вычислим дифференциал прямой L

dL = d(ξ, x) = d(ξ1 x1 + ξ2 x2 −l ) = d ( ξ x1' −l )= ξ dx1' .

Из соотношения (2.74) получим значение дифференциальной

формы ω прямой L : dL ω = dx dx		= dx'	dx'	или	ξ	dx'	ω = dx' dx'		,

1	2	1	2			1	1	2

откуда ω = dξx2 .

Из (2.75) получим, с учетом выше приведенных соотношений, что преобразование Радона функции f (x) вдоль L равно

P(ξ, x) = ∫ f (x1, x2 )ω =

+∞

dx'

∫

cos θ− x'

sin θ,

sin θ+ x'

cos θ

−∞

Если теперь считать, что прямая L задана в нормальном виде,

т.е.	ξ	=1,	ξ1 = cosθ, ξ2 = sin θ, то P(ξ,l ) будет функцией угла θ и

расстояния			l от начала координат до прямой L . В это случае ее
называют проекцией функции				f (x1, x2 ) вдоль прямой L и обозна-
чают P(θ,l ). Тогда
		P(θ,l ) = +∞∫ f (l cos θ− x2'		sin θ, l sin θ+ x2' cos θ)dx2' .	(2.79)
			−∞

Рассмотрим элементарные свойства преобразования Радона, необходимые для дальнейших исследований.

Учитывая, что дельта-функция δ(l −(ξ, x)) является однородной функцией переменных l , ξ , степени однородности -1, из формулы (2.76) непосредственно следует, что:

1) функция P(ξ,l ) является четной однородной функцией от (ξ,l ) степени однородности -1, т. е. для любого вещественного L ≠ 0

143

P(αξ,αl ) =

−1 P(ξ,l ). Отсюда,

в частности, следует, что, поло-

жив α = l−1 , получим

P(l−1 ξ,1)=

P(ξ,l )

или

P(ξ,l ) =

−1 P(l−1ξ,l) ,

(2.80)

т. е. фактически функция P(ξ,l )

зависит от того же числа пере-

менных, что и исходная функция

f (x) ;

2) из свойств интеграла легко получить, что преобразование Радона линейно: если P(ξ,l ) – преобразование Радона функции

f (x) и f (x) = a1 f1 (x) + +a2 f2 (x) ,

то

P(ξ,l) = a1 P1 (ξ,l ) + a2 P2 (ξ,l ) .

(2.81)

Далее перечислим без доказательства наиболее важные свойства преобразования Радона. Подробно эти свойства рассматриваются в работе [67];

3)пусть A – невыраженное линейное преобразование пере-

			n	A = (aij ), оп-
менных x1,..., xn : Ax	= ( y1,..., yn ) , где yi = ∑dij x j ,
			j=1
ределитель матрицы	A det ( A) ≠ 0 . Тогда преобразование Радона
функции fA (x) = f (A−1 x) есть
где (ξ, Ax ) = ( A'ξ, x) ;	PA (ξ,l ) =	det A	P( A'ξ,l) ,	(2.82)

	A' — транспонированная матрица;

4) пусть fa (x) = f (x + a) = f (x1 + a1,..., xn + an ) , тогда преоб-

разование Радона этой функции есть
Pa (ξ,l ) = P(ξ,l + (ξ, a)) ;	(2.83)
144

n	∂f (x)
5) пусть F (x) = ∑ai			, где a1,...,an	– произвольные
5) пусть F (x) = ∑ai	∂(x	)	, где a1,...,an	– произвольные
i=1	i

вещественные числа, тогда преобразование Радона для этой функции есть

∂P(ξ,l )

PF (ξ,l ) = ∑ai ξi

;

(2.84)

∂l

i=1

P1 (ξ,l )

преобразование

Родона

функции

f (x) , связано с преобразованием Радона P(ξ,l )

f (x) =

∑ i

i=1

функции

f (x)

следующим образом:

∂P1 (ξ,l )

∂(ξ,l )

= −∑ai

;

(2.85)

∂l

∂ξi

i=1

преобразование Радона свертки

f (x) = ∫ f1 ( y) f2 (x − y) dy

функций

f1 (x) и

f2 (x) есть

+∞

P(ξ,l ) = ∫ P1 (ξ,t) P2 (ξ,l −t )dt ,

(2.86)

−∞

где Pi (ξ,l ) — преобразование Радона функции fi (x) (i =1,2). Определим связь преобразования Радона с преобразованием

Фурье. Пусть в пространстве Rn задана абсолютно дифференциируемая функция f (x) , т. е. ∫ f (x) dx сходится всюду. Тогда мож-

но определить ее преобразование Фурье
F (ξ) = ∫ f (x)еθi(ξ,x)dx ,	(2.87)

где интегрирование идет по всему пространству. Этот интеграл обычным образом можно свести к повторному интегралу

+∞		+∞
F (ξ) = ∫ dl ∫		f (x)eil ω = ∫ eil dl	∫ f (x)ω, (2.88)
−∞	(ξ,x) =l	−∞	(ξ,x) =l
		145

Источник: https://studfile.net/preview/16708896/

Смотрите также:




_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей