Материал: Симонов Томографические измерителные информационные системы 2011

Смотрите также:

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

т.е. сначала зафиксируем некоторую гиперплоскость (ξ, x) = l и

проведем внутреннее интегрирование по этой гиперплоскости, а затем проинтегрируем полученное выражение по множеству гиперплоскостей, параллельных данной, т.е. проинтегрируем по l при фиксированном ξ.

Так как	∫		f (x)ω = P(ξ,l ) ,			то преобразование Фурье пред-
	(ξ,x) =l
ставляет преобразованиеРадонафункции f (x)							следующимобразом:
					+∞
				F (ξ) = ∫ P(ξ,l )eildl .			(2.89)
					−∞		ξ = αξ1 , l = αl1 , где
В последнем интеграле сделаем замену							ξ = αξ1 , l = αl1 , где
α ≠ 0 , α R .
Учитывая, что функция P(ξ,l )						является однородной степени –1,
т. е. P(αξ ,αl )		=	α	−1 P(ξ ,l ) , dl = αdl , получим
т. е. P(αξ ,αl )		=	α	−1 P(ξ ,l ) , dl = αdl , получим
1	1			1	1	1
					+∞
				F (αξ) = ∫ P(ξ,l )eil αdl .			(2.90)

−∞

Таким образом, преобразование Фурье в n-мерном пространстве сводится к преобразованию Радона в (n −1) -мерном пространстве

и последующему одномерному преобразованию Фурье.

Применяя к (2.90) обратное одномерное преобразование Фурье, получим выражение преобразование Радона функции f (x) через ее преобразование Фурье

	1	+∞
P(ξ,l ) =		∫ F (α,ξ)e−il α dα .	(2.91)
	2π
		−∞

Итак, преобразования Фурье и Радона функции f (x) в n-

мерном пространстве получаются друг из друга с помощью одномерного преобразования Фурье.

Важное значение для компьютерной томографии имеет представление функции через ее преобразование Радона. Обычно функ-

146

цией f (x) в КТ является μ(x, y) , а P(ξ,l ) являются проекции

P(θ,l ).

Представление функции через ее преобразование Радона называется формулами обращения. Рассмотрим эти формулы обращения.

Формулы обращения [11] для пространства Rn четной и нечетной размерности имеют вид, а именно:

для n = 2k :


	(−1)	n	(n −1)!			+∞
	(−1)	2	(n −1)!			+∞	−n
f (x) =	(2π)			n	∫	∫ P(ξ,l ) (l −(ξ, x))		dl) ω(ξ) , (2.92)
	(2π)				Г	−∞

причем интеграл по l следует понимать в смысле регуляризованного значения, т. е.

+∞

−n

∞

−n

∫ l

ψ(l )dl = ∫l

ψ(l ) + ψ(−l) − 2 ψ(0) +

ψ''(0) +...

−∞

n−2

ψ(

) (0)

... +

dl;

(n − 2)!

(2.93)

для n = 2k +1

(−1)

n−1

∫

∂n−1P(ξ,(ξ, x))

f (x) =

ω(ξ) ,

(2.94)

2(2π)n−1

∂ln−1

где Г – произвольная замкнутая поверхность,

которая охватывает

точку ξ = 0, ω(ξ)

– дифференциальная форма этой поверхности, т.е.

ω(ξ) = ∑(−1)i−1 ξi dξ1...dξi−1di+1...dξn .

(2.95)

i =1

Для простоты изложения приведем краткие доказательства этих формул для случая n = 2 .

147

Пусть прямая L : (ξ, x) = l задана в нормальном виде, т. е. ξ =1, тогда согласно (2.79), интеграл функции f (x) вдоль прямой L равен

+∞
P(θ,l ) = ∫ f (l cos θ− S sin θ, l sin θ+ S cosθ),	(2.95а)

−∞

где S – ось ординат после поворота на угол θ.

Следуя Радону [1], построим среднее значение всех проекций вдоль прямых, которые расположены на расстоянии i от точки, подлежащей восстановлению, т. е. являющихся касательными к окружности радиуса i с центром в восстанавливаемой точке x

(рис. 2.20)

К : x −η = i

(ξ, x)= l −i

(ξ, x)= l

Рис. 2.20. Восстановление функции f (x) с помощью преобразования Радона

Тем самым полученная функция P (x,i) зависит только от расстояния i от исследуемой точки x , т. е. P (x,i) задана на произвольномлуче, выходящем из точки x . Учитывая (2.79), получим, что

148

2π+∞

P (x,i) = 1 ∫ ∫ f (η)dθdS , 2π 0 −∞

где η – точка принадлежащая касательной к кругу К : x −η = i . Таким образом, получаем интегральное уравнение первого рода

относительно функции f (x) . Решением этого интегрального уравнения, как показано в [1], является функция

	1	∞

f (x) = −		∫	dP (x,i)		,	(2.97)
	π
		0		i

где интеграл понимается в смысле Стилтьеса или

∞

di .

f (x) =

P (x,i)

lim

− ∫

π ε→0

Из формулы (2.97) видно, что операция восстановления функции f (x) эквивалентна последовательному выполнению следую-

щих операций: усреднению проекций по формуле (2.96), дифференцированию среднего значения и последующей свертке с функцией 1i .

Формулу (2.97) можно так же переписать в следующем виде

f (x) = −

∞

∂P(x,i)

∞

2π ∂P(θ,l −i)

∫

di = −

∫

dθ di =

∂i

2π

∂i

∞ 2π

∂ P(θ,l −i)

= −

∫ ∫

dθ di .

2π

∂i

0 0

После замены переменной l1 = l −i

получим

f (x) = −

∞2π

∂P(θ,l

)

∫ ∫

dθ dl1 .

2π

−l

∂l

0 0

Учитывая, что P(θ,l ) = P(θ+ π, −l ) , получим

149

f (x) =

+∞ 2π

∂P(θ,l )

∫

dθdl1 .

(2.98)

4π

l −l

∂l

−∞ 0

Заметим, что если точка

x = (x1, x2 ) имеет полярные координа-

ты (r,ϕ) , то l = r cos(θ −ϕ) .

В формуле (2.98) рассмотрим внутренний интеграл

+∞

∂P(θ,l

)dl

J = − ∫

= −(J1

+ J2 ) ,

l −l

∂l

−∞

∞

∂P(θ,l

)

l1−ε

∂P(θ,l

)

где J1 = ε→∞lim ∫

∫

dl1 ,

= ε→∞lim

dl1.

l −l

∂l

−l

∂l

l1+ε

−∞

P(θ,l1 ) = 0 ,

После интегрирования по частям,

учтем,

что

lim

→∞

получим

J = − lim

−

(P(θ,l

+ ε) + P(

θ,l

−ε)) +

ε→∞

l1−ε P(θ,l

)

∞

P(θ,l

)

+ ∫

∫

dl1

dl1 .

(l −l1 )2

−∞

+ε

Так как функция f (x) удовлетворяет условиям, которые мы за-

давали в самом начале, то для функции P(θ, x)

можно записать ее

разложение в ряд Тейлора в окрестности точки l1

P(θ,

+ ε) = P(θ,

) +

P(θ, l1 )

ε +

P(θ, l1 )

ε2 +...,

P(θ,

−ε) = P(θ,

) −

P(θ, l1 )

ε +

P(θ, l1 )

ε2 +...,

откуда следует

P(θ, l + ε) + P(θ, l − ε)

2P(θ, l ) + P(θ, l

)ε2

lim =

= lim

+... =

ε→∞

150

Источник: https://studfile.net/preview/16708896/

∫ P(θ,l −i)dθ.




_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей