Документ: Симонов Томографические измерителные информационные системы 2011, страницы 341-345

Подставляя (4.37) в (4.42), получим
				μи (х, у) =					+ μиш (х, у) ,	(4.44)
							μи (х, у)
где
				π	∞
				= ∫dθ ∫ P(l,θ) g (x cosθ + y sin θ −l ) dl ,						(4.45)
		μи (х, у)
0					−∞
				π	∞
	μиш (х, у) = ∫dθ ∫ n(l,θ) g (x cosθ + y sin θ −l ) d l .									(4.46)
0					−∞
Так как среднее значение шума равно нулю (4.38), то
				π	∞
			= ∫dθ ∫					g (x cos θ + уsin θ −l ) dl = 0 .		(4.47)
	μиш (х, у)					n(l,θ)
0					−∞

Учитывая последнее выражение, то функция μи (х, у) совпадает с μи (х, у) , как будто никакого шума не было.

Перейдем к вычислению дисперсии восстанавливаемой функции. Подставляя в (4.1') выражение (4.44), будем иметь

		σи2 (х, у) =			μиш2 (х, у)	.		(4.48)
Учитывая (4.46), получим
π	π	∞	∞
σи2 (х, у) = ∫d θ1 ∫d θ2 ∫ d l1 ∫							×
σи2 (х, у) = ∫d θ1 ∫d θ2 ∫ d l1 ∫				n(l1,θ1 )n(l2 ,θ2 )			×
0	0	−∞	−∞
×g (x cos θ1 + y sin θ1 −l1 ) g (x cos θ2 + y sin θ2 −l2 ) d l2.								(4.49)

Подставим в (4.49) выражение для корреляционной функции шума (4.39) и проинтегрируем по θ2, получим

π	∞	∞
σи2 (х, у) = ∫d θ ∫ dl1		∫ Kl (l1 −l2 ) g (xcosθ+ ysin θ−l1 )×
0	−∞	−∞
	×g (xcosθ+ ysin θ−l2 ) dl2 ,		(4.50)

Преобразуем последнее выражение, подставив вместо Kl и g соответствующие выражения (4.40) и (4.43). Тогда

341

π

∞

σи2 (х, у) = ∫d θ ∫ dl1 ∫ dl2 ∫ dν1 ∫ d ν2

0

−∞

∞

W (

)W

(

) ×

× ∫ Klф (ν)

ν1

ν2

ν1

ν2

−∞

×exp i 2π l

(ν −ν

) −l

(ν −ν

2

) +(ν + ν

2

)(xcosθ+

{

1

2

1

×

(4.51)

ysin θ) }dν.

	∞
Так как	∫ exp(i 2πl ν) dl = δ(ν), то интегрирование по пере-
	−∞
менным l1	и l2 приводит к произведению двух δ-функций

δ(ν −ν1 ) δ(ν −ν2 ) . Последующее интегрирование по переменным ν1 и ν2 позволяет представить (4.51) в виде

π∞

σи2 (х, у) =∫dθ ∫ ν2W2 ( ν) Klф(ν) dν=

0		−∞		(4.52)
∞			∞	(4.52)
∞			∞
=π ∫ ν2W2	(	ν	) Klф(ν) dν=2π∫ν2W2	(	ν	) Klф(ν) dν.


−∞	0

Выражение (4.52) позволяет вычислить дисперсию флюктуаций в восстановленном изображении для любой регуляризирующей функции W при известном спектре аддитивных шумов проекционных данных. Из (4.52) следует:

1)дисперсия шума на изображении не зависит от формы восстанавливаемого изображения;

2)значение дисперсии не зависит от конкретной точки (x, y)

изображения; 3) чем больше регуляризирующая функция подавляет высокие

частоты, тем меньше дисперсия шума на изображении. Последний вывод является наиболее важным: именно для того,

чтобы можно было регулировать дисперсию, и проводится регуляризация формул обращения, что рассматривалось достаточно подробно в гл. 2.

342

Приведем пример, позволяющий проиллюстрировать влияние регуляризирующей функции W ( ν ) и характеристик шума проек-

ционных данных σш2 , rк на дисперсию изображения σи2 .

Как это было показано в гл. 2, роль функции W ( ν ) с точки

зрения устойчивости алгоритма реконструкции, которую она играет, тем больше, чем больше регуляризирующий параметр α . Пусть

W (		ν		) = exp(−α		ν		)	(4.53)

– одно из ядер, применяемых в томографии [4], а Klф задается (4.43). Подставляя эти выражения в (4.52), находим

∞			2π σш2 l exp(−2π2 l2 ν2 ) dν =
σи2 = 2π∫ν2 exp(−α2 ν2 )			2π σш2 l exp(−2π2 l2 ν2 ) dν =
0
	∞	ν2 exp	−(α2 + 2π2 l2 ) ν2
= l σш2	(2π)3 2 ∫	ν2 exp	−(α2 + 2π2 l2 ) ν2	dν.	(4.54)
	0
	0

Определяя последний интеграл по [69] и заменяя l через полуинтервал корреляции rк, получим

σ	2	= π	3 2	σ	2	α	−3	+ 4π r	2	α	2	−3 2	(4.55)
	и				ш		1					.
								к

Из выражения (4.55) видно, что дисперсия шума на изображении σи2 пропорциональна дисперсии шума проекционных данных

σш2 , и с ростом α она монотонно уменьшается.

Таким образом, выражения (4.52), (4.55) позволяют при заданном уровне шума на изображении определить допустимый уровень аддитивного шума проекционных данных.

Рассмотрим влияние погрешности проекционных данных, обусловленной квантовой природой излучения, на погрешность томографического изображения.

Как известно из гл. 2, для идеально коллимированного моноэнергетического рентгеновского излучения измеренная проекция может быть представлена

343

Р	(l,θ) = ln	n0	(l,θ)	,	(4.56)

и		nx	(l,θ)

где пх – число фотонов рентгеновского излучения, измеренное в направлении (l,θ) за исследуемым объектом; п0 – число фотонов,

измеренное на входе объекта.

Статистические флюктуации измеряемых величин пх и п0 описываются распределением Пуассона (см. гл. 2) и вносят погрешно-

сти в оценку точных проекций P(l,θ), такие, что математическое ожидание измеренной проекции Pи (l,θ) сохраняет свое значение

	= Р(l,θ) .	(4.57)
Ри (l,θ)

Однако дисперсия измерения проекционных данных отлична от нуля и определяется следующим выражением в случае независи-

мых величин пх и п0

(l,θ)} .

σ2

{

Р (l,θ)} = σ2 {ln n (l,θ)} + σ2 {ln n

x

(4.58)

р

и

0

Из выражения (4.58) следует, что

∂(ln n

)

2

(n

) +

∂(ln n

x

)

2

σ2 (n

) .

σ2

=

0

σ2

(4.59)

p

∂n

0

∂n

x

0

n

x

0

Учитывая,

что для

распределения Пуассона σ2 (n ) =

и

n

σ2 (n

) =

0

,

а

также,

что

n ,

последнее

выражение

будет

x

n

x

n

0

иметь вид

σ2p 1

или σp 1

,

(4.60)

nx

где

– среднее число, фотонов зарегистрированных после объек-

nx

та в данном направлении.

Экспериментальные проекции Ри (l,θ)

можно рассмотреть,

как

сумму точных проекций P(l,θ)

и шумового статистического про-

цесса Рш (l,θ)

с нулевым средним и дисперсией (4.60)

Ри (l,θ) = P(l,θ) + Pш (l,θ) ,

(4.61)

где P

(l,θ) = 0

и σ2 {P

(l,θ)} = σ2

=1

.

n

x

ш

p

344

В результате реконструкции мы получим (4.44) шумовое изображение μи (х, у) :

μи (х, у) = μи (х, у) + μиш (х, у) .

Причем математическое ожидание реконструированной томограммы с шумом μи (х, у) равно незашумленной структуре μ(х, у), которая была бы восстановлена по точным проекциям P(l,θ).

Дисперсия шумового изображения в предположении отсутствия корреляции шумов в различных проекциях определиться, как

σи2 {μи (х, у)} = σ2 {μиш (х, у)} ,

(4.62)

и для алгоритма обратного проецирования с фильтрацией сверткой для параллельных лучей (3.137) на основании соотношений для дисперсии функций запишется

		π ∞	σ2 {р	(l,θ)} g (l −l ') 2 dl dθ
σ2	=	∫ ∫	σ2 {р	(l,θ)} g (l −l ') 2 dl dθ
и		∫ ∫	ш
		0 −∞

или

σи2 =

π ∞

1

g

(l −l ') 2 dl dθ .

(4.63)

∫ ∫ nx (l,θ)

0 −∞

Последнее выражение для дискретного представления алгорит-

ма (3.142, 3.143) можно представить

2

π

2

M N {g mx

x cos(m Δθ) + my y sin (m Δθ) − n

l }2

∑ ∑

σи =

l

.

М

nx (n l, m Δθ)

m =1n =1

(4.64)

В выражениях (4.63) и (4.64) дисперсия в каждой точке восста-

навливаемого изображения зависит от среднего числа регистрируемых квантов nx (n l, m Δθ) и функционального вида сворачи-

вающей функции [g(l)2].

Для оценки максимального уровня квантовых погрешностей реконструкции определим согласно (4.64) дисперсию в центре однородного фантома круговой симметрии

345

Материал: Симонов Томографические измерителные информационные системы 2011

Смотрите также: