Материал: Системы управления исполнительными механизмами.

где f kT – значение входного непрерывного сигнала в момент времени kT замыкания ключа, k = 0…∞; t kT – единичная им-

пульсная функция (δ-функция), генерируемая в момент времени k замыкания ключа.

Фиксатор сохраняет неизменным значение сигнала f kT

в течение периода T квантования. Передаточная функция фиксатора, реагирующего на импульсные воздействия вида (9.2), находится по формуле

Реакция импульсного модулятора (квантователя и фиксатора) на некоторое непрерывное воздействие f (t) приведена на рис. 9.3. Вертикальными стрелками обозначена реакция (решетчатая функция) собственно квантователя, реализующего процесс дискретизации по времени.

fф* t

Рис. 9.3. Реакция импульсного модулятора на непрерывное воздействие f (t)

230

В схемотехническом плане функции квантователя и экстраполятора (фиксатора) нулевого порядка реализуют с помощью устройства выборки-хранения (УВХ) [10].

Амплитудный квантователь обеспечивает квантование входного сигнала fф* t по уровню и выполняется на основе аналого-

цифровых преобразователей (АЦП). При достаточно большом числе двоичных разрядов АЦП (12–24) квантованием по уровню при исследовании цифровых систем обычно пренебрегают и цифровые СУИМ рассматривают как импульсные (амплитудно-им- пульсные с фиксатором нулевого порядка).

Анализ и синтез импульсных систем осуществляют, как правило, с применением метода Z-преобразования или разностных уравнений.

Преобразование Лапласа квантованного по времени сигнала имеет вид

k 0

Сделаем замену z eTp , что позволит получить Z-преобра- зование вида

F* z f kT z k ,

k 0

где z – комплексная переменная, действительная и мнимая части которой определяются как

Re z eT cos T ,

Im z eT sin T ,

где j p.

Анализ проекций комплексной переменной z на оси Re(z) и Im(z) позволяет сделать вывод, что область устойчивости дискретной САУ на комплексной плоскости ограничена окружностью единичного радиуса.

231

Физический смысл сомножителя z–k при функции f (kT) – фиксация и запоминание в ячейках памяти ЭВМ ее текущего (k = 0)

ипредшествующих значений (k = 1, 2, …).

9.2.Дискретные передаточные функции

иразностные уравнения при описании СУИМ

Винженерной практике для описания динамических дискретных звеньев СУИМ (объектов управления, регуляторов, фильтров

ит.п.) применяют дискретные передаточные функции (ДПФ), за-

писываемые в виде [12, 16 ,21]

D z YX zz ,

где X(z), Y(z) – соответственно входная и выходная переменные дискретного звена. Заметим, что практически реализуемые дискретные передаточные функции должны иметь порядок полинома знаменателя больше порядка полинома числителя.

Рассмотрим способы получения ДПФ.

1. Прямой способ(прямоедискретноепреобразование Лапласа):

Чтобы получить прямое дискретное преобразование Лапласа сигнала x(t), необходимо заменить этот сигнал дискретными значениями x(kT). Каждое значение x(kT) помножить на z–k, а затем полученный степенной ряд свернуть в конечную сумму (9.3), которая, по сути, представляет собой дискретное преобразование Лапласа X(z). Аналогично получают прямое дискретное преобразование Лапласа сигнала y(t). Прямое Z-преобразование является однозначным преобразованием.

2. С помощью таблицы Z-преобразований [6–10]. Алгоритм получения ДПФ аналогичен рассмотренному выше, но не требует

232

нахождения дискретных выборок входного x(kT) и выходного y(kT) сигналов.

3. Метод подстановки. На практике наиболее распространено два типа подстановок:

– метод прямоугольников (нуль-интерполяции):

– методтрапеций, или методТастина(линейная интерполяция):

где T – такт квантования.

Метод трапеций обеспечивает более точную в отношении среднеквадратического критерия аппроксимацию непрерывных сигналов, как при их нарастании, так и при спадании.

К ДПФ и соответствующим структурным схемам применимы те же правила структурных преобразований, что и для непрерывных систем.

Для синтеза систем управления реального времени, исследования цифровых систем управления во временной области используют разностные уравнения. Если известна дискретная передаточная функция какого-либо звена, то получение разностного уравнения не представляет труда. В частности, разностные уравнения, описывающие процессы в идеальных интегрирующих звеньях, аппроксимируемых методами нуль-интерполяции и линейной интерполяции, имеют соответственно вид Y (kT) = Y ((k–1)T) + TX (kT);

Y (kT) = Y ((k – 1)T) + 0,5 T [X (kT) + X((k – 1)T)].

9.3. Синтез цифровых систем управления

Существует множество методов синтеза цифровых систем управления, а также инженерных методик и алгоритмов, основанных на описании управляемых динамических процессов как в час-

233

тотной, так и во временной области [12, 17, 21–29]. Не умаляя достоинства большинства из них, отметим, что для синтеза цифровых СУИМ применяют следующие методы:

–метод дискретизации по времени аналоговых регуляторов класса «вход-выход» (метод аналогий), или метод билинейного преобразования;

–метод переменного коэффициента усиления;

–методы аналитического конструирования дискретных регуляторов состояния.

9.3.1.Методы дискретизации аналоговых регуляторов

ибилинейного преобразования

Метод дискретизации основан на применении рассмотренных выше процедур синтеза линейных аналоговых СУИМ. В качестве критериев оптимальности принимают общепринятые при синтезе таких систем интегральные квадратичные или иные функционалы, а следовательно, динамические процессы в оптимизированных контурах регулирования соответствуют реакциям тех или иных оптимальных фильтров, например фильтров Баттерворта n-го порядка, апериодических фильтров и т.п. В одноконтурных и системах подчиненного регулирования координат СУИМ синтезированное аналоговое устройство управления содержит один или несколько последовательно включенных регуляторов (корректирующих устройств) класса «вход-выход».

Для преобразования аналоговых передаточных функций регуляторов в дискретные передаточные функции применяют замену непрерывных операторов p Лапласа их дискретным аналогом, используя метод прямоугольников (в классической теории управления непрерывными системами – метод Эйлера). Отсюда и второе название данного метода синтеза – метод аналогий.

В качестве примера рассмотрим дискретизацию непрерывного ПИД-закона регулирования. Процедура преобразования иллюстрируется рис. 9.4.

234

Входным воздействием регулятора является ошибка регулирования e(t) для непрерывного и e(kT) для дискретного управления, выходным сигналом – сигнал u(t) для непрерывного и u(kT) для дискретного управления.

Приведенноепреобразованиеосновано на заменеформулы (9.4).

Рис. 9.4. Иллюстрация метода дискретизации аналогового ПИД-регулятора

Метод билинейного преобразователя – по сути, тот же метод аналогий, но он сводится к применению формулы (9.5). Такую подстановку целесообразно применять к интегральной компоненте

управления (звену W P Kи /P ), поскольку именно она отвечает

за точность управления.

Параметры Kрег, Kи, Kд получают в результате синтеза аналогового ПИД-регулятора, Т – временной интервал между двумя соседними значениями управляющего воздействия (такт управления).

235

Применение этих методов синтеза предполагает, что дискретизацией аналоговых сигналов по уровню в силу достаточной длины разрядной сетки цифровых средств управления можно пренебречь, такт управления достаточно мал (как правило, на порядок меньше минимальной постоянной времени объекта управления). Также предполагается, что периоды Т прерывания импульсного элемента датчиков обратной связи и регуляторов одинаковы и неизменны, причем синхронизированы во времени. Как показывают исследования [16, 20, 22], в современных цифровых электромеханических СУИМ такт прерывания не должен превышать 0,005 с. Обеспечение этих условий позволяет получить динамические характеристики цифровой СУИМ практически такие же, что и в непрерывной системе.

9.3.2.Метод переменного коэффициента усиления

Воснове метода лежат теорема об n интервалах дискретного управления и применение дискретных уравнений переходных состояний [12, 14]. Дискретный регулятор на начальном этапе синтеза представляется в виде последовательной цепочки, состоящей из квантователя ошибки e(t) регулирования по времени с тактом T, фиксатора Ф нулевого порядка и безынерционного звена с переменным коэффициентом Kj усиления (рис. 9.5).

T

e (t) e (kT) u (kT)

Ф Kj

Рис. 9.5. Структура дискретного регулятора на начальном этапе синтеза

Входным воздействием регулятора является ошибка регулирования e(kT), выходным – сигнал управления u(kT). Ошибка регулирования e(kT) на входе звена с переменным коэффициентом усиления обновляется и фиксируется с помощью экстраполятора нулевого порядка с каждым тактом дискретизации Т.

236

Согласно теореме об n интервалах дискретного управления система будет оптимальной по быстродействию (в концепции импульсных САУ), если переходные процессы в ней заканчиваются через n тактов управления, причем без перерегулирования выходной координаты, где n – порядок линейного объекта управления. Критерий оптимальности системы (максимум быстродействия) в этом случае записывается в виде tрег = nT min. Цель синтеза – определение n значений коэффициента Kj, обеспечивающих достижение предельного быстродействия СУИМ.

Для дискретной СУИМ с рассматриваемым регулятором можно записать n дискретных уравнений переходных состояний:

V kT Φ K j , T B T V k 1 T , k 1, 2, ..., n,

где V[(k–1)T] – вектор состояния системы на предыдущем такте управления; V(kT +) – вектор состояния на текущем такте управления после замыкания ключевых элементов (фиксации новых значений измеренной координаты и ошибки регулирования); Ф(Kj,Т) – расширенная матрица перехода системы, зависящая от искомых коэффициентов Kj; B(T) – матрица переключения импульсных элементов.

В результате решения системы n неоднородных алгебраических уравнений, составленных из дискретных уравнений состояний, находят численные значения коэффициентов Kj. Для этого применяют различные методики, алгоритмы и численные проце-

дуры [12, 14, 17, 22].

На заключительном этапе синтеза оптимальный регулятор представляют в виде дискретной передаточной функции:

237