Материал: Спецглавы высшей математики. численные методы. Пантелеев И.Н

относительно векторной функции F векторного аргумента x. Следовательно, исходную задачу можно рассматривать как

задачу о нулях нелинейного отображения F : Rn Rn . В этой

постановке данная задача является прямым обобщением задачи о нахождении решения нелинейного уравнения для случая пространств большей размерности. Это означает, что можно строить методы ее решения как на основе обсужденных в предыдущей главе подходов, так и осуществлять формальный перенос выведенных для скалярного случая расчетных формул. Однако не все результаты и не все методы оказывается возможным перенести формально (например, метод половинного деления). В любом случае следует позаботиться о правомерности тех или иных операций над векторными переменными и векторными функциями, а также о сходимости получаемых таким способом итерационных процессах. Отметим, что переход от n= 1 к n ≥2 вносит в задачу нахождения нулей нелинейного отображения свою специфику, учет которой привел к появлению новых методов и различных модификаций уже имеющихся методов. В частности, большая вариативность методов решения нелинейных систем связана с разнообразием способов, которыми можно решать линейные алгебраические задачи, возникающие при пошаговой линеаризации данной нелинейной вектор-функцииF(x) .

Начнем изучение методов решения нелинейных систем с метода простых итераций.

Пусть система (IV.1) преобразована к следующей эквивалентной нелинейной системе:

или в компактной записи:

1 x 1 (x1 , x2 , , xn )

x (x) 2 x 2 x1 , x2 , , xn . (IV.4)n x n (x1 , x2 , , xn )

Для задачи о неподвижной точке нелинейного отображенияRn Rn запишем формальное рекуррентное равенство:

где k определяет метод простых итераций, для задачи (IV.3) и k= 0,1,2,...,n .

Если начать процесс построения последовательности x k с некоторого вектора x 0 x10 , x20 , , xn0 T и продолжить вы-

числительный процесс по формуле IV.5), то при определенных условиях данная последовательность со скоростью геометриче-

ской прогрессии будет приближаться к векторуx* — неподвижной точке отображения Ф(х).

Отметим низкую практическую ценность данной теоремы из-за не конструктивности ее условий. В случаях, когда вы-

брано хорошее начальное приближение x 0 решению x* , больший практический интерес представляет следующая тео- рТеорема. IV.2. Пусть x дифференцируема в замкну-

IV.1 с М = S .

Запишем метод последовательных приближений (IV.5) в развернутом виде:

Сравнение (IV.6) с вычислительной формулой метода простой итерации решения систем линейных уравнений (III.13) обнаруживает их сходство. Учитывая, что в линейном случае, как правило, более эффективен метод Зейделя, а данном случае также может оказаться более эффективным его многомерный аналог, называемый методом покоординатных итераций:

Заметим, что, как и для линейных систем, отдельные уравнения в (IV.7) неравноправны, т, е. перемена местами уравнений системы (IV.3) может изменить в некоторых пределах число итераций и вообще ситуацию со сходимостью последовательности итераций. Для того чтобы применить метод простых итераций (IV.6) или его "зейделеву" модификацию (IV.7) к исходной системе (IV.1), необходимо сначала тем или иным способом привести эту систему к виду (IV.3). Это можно сделать,

эквивалентна исходной и имеет вид, аналогичный уравнению в методе итераций в одномерном случае. Проблема состоит лишь

вправильном подборе матричного параметра.

4.2.Метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений

Для решения системы (IV.3) будем пользоваться методом последовательных приближений.

Предположим, известно k-е приближение x k x1k , x2k , , xnk одного из изолированных корней x* x1* , x2* , , xn* векторного уравнения (IV.2).

Тогда точный корень уравнения (IV.2) можно представить в виде:

где x k x1k , x2k , , xnk — поправка (погрешность кор-

ня). 64

Предполагая, что функция F x непрерывно дифференцируе-

ма в некоторой выпуклой области, содержащей x и x k , разложим левую часть уравнения (IV.10) по степеням малого век-

тора x k , ограничиваясь линейными членами:

Из формул (IV.11) и (IV.12) видно, что под производной F x следует понимать матрицу Якоби системы функций

f1 , f2 , , fn относительно переменных x1 , x2 , xn , т. е.

65