Материал: Статистика. методические указания к выполнению лабораторных работ для студентов направления 38.03.02 «Менеджмент». Моисеев С.И., Перевалова О.С

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4 ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О РАВЕНСТВЕ ДИСПЕРСИЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЖИДАНИЙ

Цель работы: приобретение практических навыков проверки гипотез о равенстве дисперсий и математических ожиданий.

Время выполнения работы: 4 часа.

Ход работы

Часть 1. Критерий Фишера сравнения дисперсий

Используется в случае, если нужно проверить различается ли разброс данных (дисперсии) у двух выборок. Это может использоваться, например, при сравнении точностей обработки деталей на двух станках, равномерности продаж товара в течении некоторого периода в двух городах и т.д. Для проверки статистической гипотезы о равенстве дисперсий служит F- критерий Фишера. Основной характеристикой критерия является уровень значимости α, который имеет смысла вероятности ошибиться, предполагая, что дисперсии и, следовательно, точность, различаются. Вместо α в задачах также иногда задают доверительную вероятность p =1−α, имеющую смысл вероятности того, что диспер-

сии и в самом деле равны. Обычно выбирают критическое значение уровня значимости, например 0,05 или 0,1, и если α больше критического значения, то дисперсии считаются равными, в противном случае, различны. При этом критерий может быть односторонним, когда нужно проверить, что дисперсия конкретной выделенной выборки больше, чем у другой, и двусторонним, когда просто нужно показать, что дисперсии не равны. Существует два способа проверки таких гипотез. Рассмотрим их на примерах.

Пример 1. Два автомата расфасовывают муку по мешкам, емкостью 50 кг (табл. 11). Необходимо проверить, можно ли с вероятностью не менее 0,95 считать, что точность расфасовки на обоих автоматах одинакова. Для проверки гипотезы отбираются две выборки весов муки, расфасованной на первом и втором автомате.

Таблица 11

По условию задачи критерий двусторонний, так как требуется проверить различие дисперсий (точностей). Доверительная вероятность задана p=0.95, следовательно, уровень значимости α =1− p =1−0,95 = 0,05 . Вводим данные выборок

(без подписей) в две строчки в ячейки А1-L1 и А2-L2 соответственно. Для вы-

16

числения уровня значимости двустороннего критерия служит функция ФТЕСТ(массив1;массив2). Вводим в А4 подпись «Уровень значимости», а в В4 функцию ФТЕСТ, аргументами которой должны быть ссылки на ячейки А1-L1 и А2-L2 соответственно. Результат 0,011591293 говорит о том, что вероятность ошибиться, приняв гипотезу о различии дисперсий, около 0,01, что меньше критического значения, заданного в условии задачи 0,05. Следовательно, можно говорить что опытные данные с большой вероятностью подтверждают предположение о том, что дисперсии разные и точность расфасовки автоматов различна.

Другой способ решения задачи – использовать надстройку «Анализ данных», которая находится в меню «Данные» подменю «Анализ данных». Если в меню «Данные» отсутствует этот пункт, то в меню «Файл» нужно выбрать пункт «Параметры», в нем пункт «Надстройки», нажать на кнопку «Перейти» внизу окна, и в нем поставить флажок напротив пункта «Пакет анализа» (Analysis ToolPak). После этого в меню «Данные» по явится «Анализ данных» (Data Analysis). Вызвав его, откроется окно, в котором нужно выбрать «Двухвыборочный F-тест для дисперсий» (F-test Two-Sample for Variances). В открывшемся окне в полях «Интервал переменной 1» (Variable 1 Range) и «Интервал переменной 2» ( Variable 1 Range) вводят ссылки на данные (А1-L1 и А2-L2, соответственно), если имеются подписи данных, то ставят флажок у надписи «Метки» (Label) (у нас их нет, поэтому флажок не ставится). Далее вводят уровень значимости в поле «Альфа» (Alpha) (по условия это 0,05, и данное значение уже указано по умолчанию). В разделе «Параметры вывода» (Output Options) ставят метку около «Выходной интервал» (Output Range) и поместив курсор в появившееся поле напротив надписи, щелкают левой кнопкой в ячейке В7. Вывод результата будет осуществляться начиная с этой ячейки. Нажав на «ОК» появляется таблица результата. Сдвиньте границу между столбцами В и С, С и D, D и Е, увеличив ширину столбцов В, С и D так, чтобы умещались все надписи. В таблице указаны средние и дисперсии каждой выборки, значение F- критерия, односторонний критический уровень значимости в строке «P(F<=f) одностороннее» («Р(F<=f) one-tail») и критическое значение F-критерия (F critical one tail). Если значение F-критерия ближе к единице, чем F-критическое, то с заданной вероятностью можно считать, что дисперсии равны. Об этом же говорит и то, что критический уровень значимости «P(F<=f) одностороннее» больше заданного значения α. В нашем случае F-критерий равен 5,128330184 а F-критическое 2,817927225, то есть F-критерий дальше от единицы, чем критическое значение. Это говорит о том, что дисперсии различны и автоматы имеют разную точность расфасовки.

Задание 1. Четыре станка в цеху обрабатывают детали (табл. 12). Для проверки точности обработки. взяли выборки размеров деталей у каждого

17

станка. Необходимо сравнить с помощью F-теста попарно точности обработки всех станков (рассмотреть пары 1-2, 1-3, 1-4, 2-3, 2-4, 3-4) и сделать вывод, для каких станков точности обработки (дисперсии) равны, для каких нет. Взять уровень значимости α = 0,02 .

Таблица 12

Исходные данные

Выборки размеров деталей

1 станок 29,1 26,2 30,7 33,8 33,6 35,2 23,4 29,3 33,3 26,7

2 станок 29,0 28,9 34,0 29,7 29,4 28,5 35,9 32,6 37,1 28,0

3 станок 25,7 27,5 25,4 28,9 29,9 30,1 29,0 36,6 24,8 27,8

4 станок 32,1 31,0 27,2 29,3 30,4 31,7 30,4 27,3 35,7 31,5

Часть 2. Критерий Стьюдента сравнения средних

Используется для проверки предположения о том, что средние значения двух показателей, представленных выборками, значимо различаются. Существует три разновидности критерия: один – для связанных выборок, и два для несвязанных выборок (с одинаковыми и разными дисперсиями). Если выборки не связаны, то предварительно нужно проверить гипотезу о равенстве дисперсий, чтобы определить, какой из критериев использовать. Так же как и в случае сравнения дисперсий имеются 2 способа решения задачи, которые рассмотрим на примере.

Пример 2. Имеются данные о средненедельных количествах продаж товара (тыс. шт.) до и после смены производителем оформления упаковки (табл. 13).

Таблица 13

Исходные данные

Можно ли с вероятностью 0,99 считать, что смена упаковки привела к среднему увеличению количества продаж?

По условию р=0,99, α=0,01, выборки не связаны, критерий односторонний, т.к. нужно показать, что средние показателя, представленного второй выборкой, больше чем у первой. Вводим в ячейки А1-М1 и А2-L2 исходные данные. Т.к. выборки несвязаны, то предварительно сравниваем дисперсии (сделать это самостоятельно аналогично предыдущему примеру из п. 2 любым сп о- собом). В результате проверки дисперсии оказываются равными.

Первый способ решения задачи, как и в случае дисперсий, использовать стандартную функцию. Ею является ТТЕСТ(массив1;массив2;хвосты;тип), ре-

18

шающий задачу по t-критерию Стьюдента. В ячейке В4 вводим подпись «t- критерий», а в соседнюю С4 функцию ТТЕСТ (категория «Статистические») Аргументы функции:

-массив1, массив2 – исходные данные (ссылки на А1-М1 и А2-L2);

-хвосты – вид критерия: если 1 – односторонний критерий, если 2 – дву-

сторонний (в нашем случае ставится единица); - тип – тип критерия: если выборки связаны, то 1, для несвязанных вы-

борок с равными дисперсиями – ставим 2, для несвязанных выборок с неравными дисперсиями ставим 3. В нашем случае дисперсии равны, поэтому выбираем 2.

Функция возвращает критическое значение уровня значимости, имеющего смысл ошибиться, приняв гипотезу о различии средних. Если критическое значение больше заданного, то средние нужно считать равными. Результат в нашем случае 0,0476828 больше заданного α = 0,01. Следовательно, смена производителем упаковки не привела к среднему увеличению продаж и изменения в количествах продаж, вероятнее всего, связано с какими-то случайными факторами.

Второй способ – использовать пакет «Анализ данных» (Data Analysis). Способ вызова и подключения его был описан в п.2. В зависимости от типа критерия выбирается один из трех: «Парный двухвыборочный t-тест для сред-

них» (t-Teat: Paired Two Sample for Means) – для связанных выборок, и «Двух-

выборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями» (t-Teat: Two Sample Assuming Equal Variances) или «Двухвыборочный t-тест с разными дисперсиями» (t-Teat: Two Sample Assuming Unequal Variances) - для несвязанных выборок. Вызовите тест с одинаковыми дисперсиями, в открывшемся окне в полях «Интервал пе-

ременной 1» (Variable 1 Range) и «Интервал переменной 2» (Variable 2 Range)

вводят ссылки на данные (А1-М1 и А2-L2, соответственно), если имеются подписи данных, то ставят флажок у надписи «Метки» (Label) (у нас их нет, п о- этому флажок не ставится). Далее вводят уровень значимости в поле «Альфа» (Alpha) - 0,01. Поле «Гипотетическая средняя разность» (Hypothesized Mean Difference) оставляют пустым. В разделе «Параметры вывода» (Output Options) ставят метку около «Выходной интервал» (Output Range) и поместив курсор в появившееся поле напротив надписи, щелкают левой кнопкой в ячейке В7. Вывод результата будет осуществляться начиная с этой ячейки. Нажав на «ОК» появляется таблица результата. Сдвиньте границу между столбцами В и С, С и D, D и Е, увеличив ширину столбцов В, С и D так, чтобы умещались все надписи. Процедура выводит основные характеристики выборок, t-статистику (t-stat), критические значения этих статистик и критические уровни значимости

«P(T<=t) одностороннее» (P(T<=t) one-tail) и «P(T<=t) двухстороннее» (P(T<=t) two-tail). Если по модулю t-статистика меньше критического, то средние пока-

19

затели с заданной вероятностью равны. В нашем случае |-1,739215668| < 2,499873517, следовательно, среднее число продаж значимо не увеличилось. Следует отметить, что если взять уровень значимости α=0,05, то результаты исследования будут совсем иными.

Задание 2. Имеются данные о количествах продаж товара в двух городах (табл. 14-15). Проверить на уровне значимости 0,01 статистическую гипотезу о том, что среднее число продаж товара в городах различно.

Таблица 14

Исходные данные

Первый город

Таблица 15

Исходные данные

Второй город

Задание 3. Инженер Иванов придумал новый способ изготовления микросхем. При этом, как утверждает он, количество брака должно упасть. Для проверки этого предположения были взяты несколько партий микросхем до (х, %) и после (у, %) внедрения нового способа изготовления. Проценты браков в этих выборках имеют вид (табл. 16).

Таблица 16

Исходные данные

Можно ли с 95 % вероятностью утверждать, что новый способ производства в среднем уменьшает процент брака, если считать, что генеральные совокупности распределены по неизвестному, отличному от нормального закону?

Задание 4.

Две ценные бумаги А и В имели курсовую стоимость в течении 18 недель, как показано в табл. 17.

Таблица 17

Исходные данные

20