Материал: Статистика. методические указания к выполнению лабораторных работ для студентов направления 38.03.02 «Менеджмент». Моисеев С.И., Перевалова О.С

Проверить предположение о том, что риск этих бумаг не различается при

α = 0,02 .

Указание: Риском ценных бумаг является показатель дисперсии.

Задание 5. Имеется выборка твердости вещества, измеренные на 2 приборах (табл. 18). На уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о том, что

второй прибор завышает твердость, если генеральные совокупности, представленные выборками имеют нормальный закон распределения. Проверить также предположение о равенстве точности (дисперсий) для приборов на том же уровне значимости.

Таблица 18

Исходные данные

Содержание отчета о выполнении работы:

1.Название и цель работы;

2.Результаты выполненных заданий;

3.Выводы и рекомендации (при необходимости).

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ О ВИДЕ

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Цель работы: приобретение практических навыков проверки статистических гипотез о виде распределения.

Время выполнения работы: 4 часа.

Ход работы Методы проверки статистических гипотез занимают центральное место в

исследованиях математической статистики. Одной из важнейших групп критериев проверки статгипотез являются критерии проверки гипотез о виде распределений (критерии согласия). Они по выборочным данным проверяют предположение о принадлежности генеральной совокупности к тому или иному виду распределений. Одним из наиболее мощных критериев согласия является критерий Пирсона, называемый еще критерием хи-квадрат. Его суть заключается в сравнении теоретических частот элементов выборки ni (для дискретных распределений) с теоретическими частотами ni′ = npi , где pi - вероятность принять

21

это значение, рассчитанное по исследуемому закону распределения. Если распределение непрерывное, то строится группированный статистический ряд из k интервалов и pi = F(bi ) − F(ai ) есть вероятность попасть в i-й интервал группировки

(здесь F(x) - функция распределения проверяемого закона). Статистикой крите-

χ2kr =χ12−α(k −r −1) , где r – число оцениваемых параметров закона распределения.

Распределение можно считать соответствующим теоретическому если выполняется условие χ 2 < χkr2 . Рассмотрим решение данной задачи на примере.

Пример 1. Имеется выборка прибыли (тыс. руб.) коммерческой фирмы за 40 дней (табл. 19). Необходимо проверить статистическую гипотезу о том, что прибыль данной фирмы распределена по нормальному закону распределения. Взять уровень значимости α = 0,05 .

Таблица 19

Исходные данные

Выборка прибыли коммерческой фирмы за 40 дней (тыс.

руб.)

64 56 69 78 78 83 47 65 77 57 61 52 50 58 60 48 62 63 68 64

64 64 79 66 65 62 85 75 88 61 82 52 72 75 84 66 62 73 64 74

Для проверки гипотезы о принадлежности генеральной совокупности нормальному виду распределений необходимо строить группированный статистический ряд, т.к. нормальное распределение является непрерывным. Для этого нужно знать размах выборки, который равен разнице между максимальным и минимальным элементами выборки. Кроме того, нужно рассчитать точечные оценки математического ожидания и среднеквадратического отклонения (СКО). Открываем электронную таблицу и вводим данные выборки в нее в ячейки А2-А41, делаем подписи для расчетных параметров в соответствии с рис. 2.

Рис. 2. Вид оформления рабочего листа

22

Вычисляем параметры по выборке. Для этого вводим в ячейку В3: «=СЧЁТ(A2:A41)» (здесь и далее кавычки вводить не надо, функции можно вводить с помощью мастера функций из категории «Статистические», как в лабораторной работе № 2, ссылки на ячейки можно ввести щелкнув мышью по ячейке). В В5 вводим: «=МАКС(A2:A41)», в В7: « =МИН(A2:A41)», в В9:

«=СРЗНАЧ(A2:A41)», в В11: «=СТАНДОТКЛОН.В(A2:A41)».

Видно, что весь диапазон значений элементов лежит на интервале от 47 до 88. Разобьем этот интервал на интервалы группировки: [0; 50], (50; 55], (55; 60], (60; 65], (65; 70], (70; 75], (75; 80], (80; 85], (85; 90]. Для этого вводим в

ячейки С2-С11 границы интервалов (табл. 20).

Таблица 20

Вводимые данные

Для вычисления частот п используем функцию ЧАСТОТА. Для этого в D3 вводим формулу «=ЧАСТОТА(A2:A41;C3:C11)». Затем обводим курсором ячейки D3-D11, выделяя их и нажимаем F2, а затем одновременно Ctrl+Shift+Enter. В результате в ячейках D3-D11 окажутся значения частот.

Для расчета теоретической вероятности pi = F(bi ) −F(ai ) вводим в ячейку

Е3 разницу между функциями нормального распределения (функция НОРМРАСП категории «Статистические») с параметрами: «Х» – значение границы интервала, «Среднее» - ссылка на ячейку В9, «Стандартное_откл» - ссылка на В11, «Интегральная» - 1. В результате в Е3 будет формула:

=НОРМ.РАСП(C3;$B$9;$B$11;1)-НОРМ.РАСП(C2;$B$9;$B$11;1)

Автозаполняем эту формулу на Е3 -Е10 перемещая нижний правый угол Е3 до ячейки Е10. В последней ячейке столбца Е11 для соблюдения условия нормировки вводим дополнение предыдущих вероятностей до единицы. Для этого вводим в Е11: «=1-СУММ(E3:E10)»

значение «=(D3-F3)*(D3-F3)/F3» и автозаполняем его на диапазон G3-G11. Находим значение критерия χ2 и критическое значение χkr2 . Для этого

вводим в F12 подпись «Сумма», а в F13 подпись «Критич.». Вводим в соседние ячейки формулы – в G12: «=СУММ(G3:G11)», а в G13: «=ХИ2.ОБР(0,05;6)»,

здесь параметр α = 0,05 взят из условия, а степень свободы (k-r-1)=(9-2-1)=6, так как k=9 – число интервалов группировки, а r=2, т.к. были оценены два парамет-

23

ра нормального распределения: математическое ожидание и СКО. Видно, что χ 2 < χkr2 , то есть можно считать, что прибыль данной фирмы распределена по

нормальному закону распределения.

Проверим это, построив графики плотностей эмпирического и теоретического распределений. Ставим курсор в любую свободную ячейку и вызываем мастер диаграмм (Вставка/Диаграмма). Выбираем тип диаграммы «График» и вид «График с маркерами» самый левый во второй строке, нажимаем «Далее». Ставим курсор в поле «Диапазон» и удерживая кнопку CTRL обводим мышью область ячеек D3-D11 а затем F3-F11. Переходим на закладку «Ряд» и в поле «Подписи оси Х» обводим область С3-С11. Нажимаем «Готово». Видно, что графики достаточно хорошо совпадают, что говорит о соответствии данных

нормальному закону.

Задание 1. Дана выборка числа посетителей Интернет – сайта за 30 дней (табл. 21). Проверить по критерию Пирсона на уровне значимости α = 0,02 ста-

тистическую гипотезу о том, что генеральная совокупность, представленная выборкой, имеет нормальный закон распределения.

Таблица 21

Исходные данные

Выборка

45 52 49 48 42 51 54 54 50 47 56 53 59 57 50

45 50 46 55 46 54 55 64 67 51 49 47 47 55 40

Критерий Пирсона также можно использовать для проверки предположения о том, что полученные в результате наблюдений данные соответствуют нормам. Пусть имеются некоторые показатели, которые должны соответствовать стандартным нормам. Для проверки из генеральной совокупности получается выборка значений данных показателей. Рассматривается гипотеза о том, что отклонения от норм невелики, и ими можно пренебречь. Рассмотрим проверку гипотезы на примере.

Пример 2. На консервном заводе принимаемое зерно горошка считается высшего сорта, если в нем не менее 60 % зерна размером более 7 мм в диаметре, не менее 20 % зерна размером 5-7 мм, 10 % зерна 4-5 мм и 10 % зерна менее 4 мм в диаметре. На завод привезли партию зерна, из которой отобрали одну тонну для проверки. В результате оказалась, что размером более 7 мм в диаметре 550 кг, зерна размером 5-7 мм 220 кг, зерна 4-5 мм 120 кг и зерна размером менее 4 мм 110 кг. Можно ли с вероятностью 0,95 (α = 0,05 ) говорить о том, что привезенное зерно высшего сорта?

Если бы зерно точно бы соответствовало норме, то его количество из одной тонны распределялось бы по размерам как 600 кг, 200 кг, 100 кг и 100 кг. Введем в А1 заголовок «НОРМА» и ниже в А2-А5 показатели – числа 600, 200,

24

100, 100. В ячейку В1 введем заголовок «НАБЛЮДЕНИЯ» и ниже в В2 -В5 наблюдаемые показатели 550, 220, 120, 110. В третьем столбце вводятся формулы для критерия: в С1 заголовок «КРИТЕРИЙ», в С2 формулу «=(А2-В2)*(А2- В2)/А2». Автозаполнением размножим эту формулу на С3-С5. В ячейку С6 з а- пишем общее значение критерия – сумму столбца С2-С5. Для этого поставим курсор в С6 и вызвав функции в категории «Математические» найдем СУММ и в аргументе «Число 1» укажем ссылку на С2-С5. Получится результат критерия Z=11,16667. для ответа на вопрос, соответствуют ли опытные показатели нормам, Z сравнивают с критическим значением Zкр. Вводим в D1 текст «критическое значение» в Е1 вводим функцию ХИ2.ОБР (категория «Статистические») у которой два аргумента: «Вероятность» – вводится уровень значимости α =1− p

(в нашем случае 1-0,95=0,05) и «Степени_свободы» – вводят число n-1, где n – число норм (в нашем случае 4-1=3). Результат 7,814725. Видно, что критическое значение меньше критерия, следовательно опытные данные не соответствует стандартам и зерно с заданной вероятностью нельзя отнести к высшему сорту.

Задание 2. При производстве микросхем процессоров используются кристаллы кварца. Стандартом предусмотрено, чтобы у 50 % образцов не было обнаружено ни одного дефекта кристаллической структуры, у 15% - один дефект, у 13 % - 2 дефекта, у 12 % - 3 дефекта, у 10 % более 3 дефектов. При анализе выборочной партии оказалось, что из 1000 экземпляров распределение по дефектам следующее (табл. 22).

Таблица 22

Исходные данные

Можно ли с вероятностью 0,99 (при α = 0,01 ) считать, что партия соответствует стандарту?

Задание 3. При производстве зеленого горошка консервный комбинат в г. Острогожске скупает горох у близлежащих сельскохозяйственных артелей. Технологическим процессом предусмотрено, чтобы у 30 % заказываемого гороха диаметр горошин был более 8 мм, у 40 % - от 6 до 8 мм, у 15 % - от 5 до 6 мм, у 10 % от 4 до 5 мм, у 5 % - менее 4 мм. При анализе выборочной партии оказалось, что из 1000 килограммов гороха распределение по диаметру горошин следующее (табл. 23).

25