Достоинством применения схемотехнических моделей является то, что их можно проанализировать с помощью известных программ схемотехнического моделирования или выполнить анализ на основе макета схемы. Физическое моделирование на основе пленочного прототипа экономически целесообразно лишь для проверки адекватности других моделей.
Существующие идеализированные модели дают достаточно грубую оценку характеристик RC-ЭРП, изготовленных одним из существующих методов интегральной технологии. Поэтому, для получения адекватных результатов анализа и синтеза, необходима разработка более точных моделей, параметры которых учитывали бы электрофизические характеристики используемых при изготовлении RC_ЭРП материалов и конструктивно-технологические ограничения, определяемые принятой технологией изготовления. Например, модель RC-ЭРП, в которой учитывались бы потери в диэлектрическом слое и конечная проводимость обкладок и контактных площадок, может быть представлена в виде R-CG-NR-линии.
В настоящее время анализ одномерных и двумерных, однородных и неоднородных RC-ЭРП осуществляется с помощью метода конечных распределенных элементов (МКРЭ), который характеризуются высокой точностью и простотой реализации. Однако применение этого метода возможно лишь в том случае, если найдены аналитические выражения для параметров конечных распределенных элементов (КРЭ) как многополюсников.
Использование МКРЭ позволяет рассматривать конструкцию RC-ЭРП в виде иерархической структуры, на нижнем уровне которой расположены КРЭ различных видов. При этом синтез конструкции заключается в нахождении такой комбинации КРЭ и их взаимосвязей между собой, которая обеспечивает заданные частотные (или временные) характеристики RC-ЭРП.
В настоящее время для этой цели используют генетические алгоритмы, которые хорошо зарекомендовали себя также при синтезе топологий фрактальных антенн, при разработке системы коммутации в БИС и др. Однако усложнение моделей и конструктивных вариантов RC-ЭРП требует совершенствования генетических алгоритмов, используемых при синтезе RC-ЭРП, для повышения вероятности получения требуемого результата и скорости сходимости синтеза многослойных RC_ЭРП.
Анализ существующих программных продуктов синтеза RC-ЭРП показывает, что они, как правило, являются узкоспециализированными, рассчитанными на небольшое количество моделей, обладают ограниченными возможностями анализа результатов синтеза. Поэтому для повышения эффективности проектирования RC_ЭРП необходима разработка более совершенного программного продукта, использующего настраиваемые математические модели RC-ЭРП, эффективные алгоритмы поиска решения при наличии большого числа варьируемых переменных и сложной поверхности отклика целевой функции.
В заключение главы формулируются основные задачи, которые необходимо решить для достижения поставленной цели работы.
2. Разработка и исследование математической модели RC_ЭРП со структурой слоев вида R_CG-NR, разработке алгоритма и программы анализа RC-ЭРП и проверке адекватности и точности результатов анализа
Известно, что диэлектрические пленки, формируемые толсто- или тонкопленочными методами, имеют достаточно несовершенные структуры, которые характеризуются заметными диэлектрическими потерями. Проводящие материалы, из которых изготавливаются обкладки и контакты к резистивным слоям RC-ЭРП, как правило, характеризуются удельными проводимостями, далекими от идеальных.
Анализ конструктивных вариантов RC-ЭРП, изготовленных по толсто- или тонкопленочной технологии, показал, что в областях сопряжения контактных площадок с резистивными слоями неизбежно возникают так называемые «концевые» элементы (концевые емкости и/или концевые резисторы), которые обычно не учитываются в существующих математических моделях RC-ЭРП.
В частности, для учета емкостного эффекта, возникающего между контактными площадками к резистивным слоям, расположенными друг над другом, предлагается использовать двумерный конечный распределенный элемент, структура которого показана на рисунке 1.
Рисунок 1 - Фрагмент сечения RC-ЭРП со структурой слоев вида R-CG-NR вблизи контактных площадок (а); структура конечного распределенного элемента для учета влияния концевой емкости (б); схема замещения (в). Rp - сопротивление, учитывающее неидеальность контактной площадки
Рисунок 2 - Схема замещения RC_ЭРП со структурой слоев вида R-CG-NR с концевыми резисторами Rk1, Rk2
На рисунке 2 показана схема замещения RC-ЭРП, учитывающая наличие в конструкции концевых резисторов. Таким образом, в качестве основы математической модели двумерного RC-ЭРП со структурой слоев вида R-CG-NR предлагается использовать R_CG-NR-линию, а учет конструктивно-технологических ограничений производить заменой КРЭ в области контактов специальным КРЭ со структурой слоев вида «неидеальный проводник - резистор - диэлектрик с потерями - резистор - неидеальный проводник» (рисунок 1, б).
Для получения аналитических выражений у-параметров одномерного однородного (ОО) КРЭ со структурой слоев вида R-CG-NR сделан переход от электродинамической модели системы с распределенными параметрами к равноценной ей модели в виде лестничной цепи на элементах с сосредоточенными параметрами (рисунок 3), переменными состояния в которой являются токи и напряжения.
Получено общее решение дифференциального уравнения второго порядка, описывающее распределение токов и напряжений эквивалентной электрической схемы КРЭ в установившемся режиме. На этой основе найдены аналитические выражения коэффициентов матрицы проводимости КРЭ как четырехполюсника.
Рисунок 3 - Схема замещения участка однородной r-cG-Nr-линии
Для проверки корректности полученных аналитических выражений использовано сравнение частотных характеристик у-параметров КРЭ с характеристиками его электрического эквивалента, созданного в программе схемотехнического моделирования на RC-элементах с сосредоточенными параметрами (названного в работе Spice-моделью). Сходимость частотных характеристик у-параметров разработанной Spice-модели к частотным характеристикам у-параметров КРЭ, вычисленных на основе аналитических выражений, с ростом числа звеньев Spice-модели, доказывает, что полученные аналитические выражения точно описывают поведение идеализированного КРЭ. Получены аналитические выражения y-параметров ОО КРЭ со структурой слоев вида 0-R-CG-NR-0, характерной для участков RC-ЭРП перекрытых материалом контактных площадок.
Найдены коэффициенты матрицы проводимости двумерных однородных (ДО) КРЭ со структурой слоев вида R-CG-NR на основании схемы замещения, состоящей из четырех ОО КРЭ с такой же структурой слоев. Разработан алгоритм вычисления y-параметров двумерных RC-ЭРП со структурой слоев вида R-CG-NR, который включает в себя следующие этапы: формирование глобальной матрицы проводимости на основании вычисленных у-параметров ДО КРЭ в соответствии со схемой замещения, произвольный фрагмент которой изображен на рисунке 4; учет граничных условий, заключающийся в объединении узлов; исключение внутренних узлов путем понижения порядка глобальной матрицы.
Разработана универсальная программа анализа ДО RC-ЭРП, включающая настраиваемую модель RC-ЭРП со структурой слоев вида R-CG-NR, изменением параметров которой можно учесть влияние потерь в материале диэлектрического слоя и влияние «концевых» емкостей в конструкции.
Рисунок 4 - Фрагмент схемы замещения двумерного RC-ЭРП
Программа позволяет в удобной графической форме выбирать схему включения RC-ЭРП и задавать рисунок топологии обоих резистивных слоев двумерного RC-ЭРП, получать результаты анализа в виде частотных характеристик коэффициента передачи или входного импеданса.
Для проверки корректности модели ДО КРЭ со структурой слоев вида R_CG_NR разработана схема замещения в виде двумерной Spice-модели. На основе сравнения характеристик Spice-модели, полученных в программе схемотехнического моделирования, и характеристик, вычисленных с помощью разработанной программы анализа, показана корректность работы программы. Заслуживает внимания тот факт, что время анализа RC-ЭРП с помощью разработанной программы, при сетке конечных элементов 4Ч4, составило 0,3 с., а время анализа его схемотехнической модели, состоящей примерно из 17 000 RC-элементов с сосредоточенными параметрами, составило 832,2 с. С помощью разработанной программы проведена оценка влияния параметров разработанной математической модели RC_ЭРП со структурой слоев вида R_CG_NR на частотные характеристики RC-ЭРП. Показано, что наличие сопротивления утечки в слое диэлектрика H ? 100R (Н - параметр модели, R - сопротивление резистивного слоя), последовательных потерь G ? 10-2R (G - параметр модели) и при сопротивлении материала контактной площадки Р ? 10-1R (Р - параметр модели) изменяет не только параметры, но и характер анализируемых частотных характеристик RC-ЭРП.
Для проверки адекватности результатов работы программы анализа был спроектирован экспериментальный элемент с фрактальным импедансом на основе RC_ЭРП со структурой слоев вида R-C-NR по требованиям к ФЧХ входного импеданса: цс = 36,5° 2,5° в диапазоне рабочих частот 2,5 декады и изготовлен по толстопленочной технологии (рисунок 5). Он состоит из двух одинаковых RC-ЭРП, соединенных между собой определенным образом. Графики ФЧХ входного импеданса 30-ти образцов представлены на рисунке 5, б. На рисунке 5, в показаны графики ФЧХ входного импеданса: кривая 1 - рассчитанные по аналитическому выражению, кривая 2 - с помощью программы анализа для идеализированной модели RC-ЭРП, кривая 3 - с помощью программы анализа для модели RC-ЭРП с учетом концевых емкостей при Н = 103R, G = 10-3R, Р = 10-1R.
Рисунок 5 - Фрактальный элемент на основе RC-ЭРП: а - фотоизображение экспериментального толстопленочного RC-ЭРП (1 - верхний резистивный слой, 2 - диэлектрический слой, 3 - контактные площадки); б - графики ФЧХ входного импеданса образцов; в - графики ФЧХ входного импеданса, полученные математическим моделированием
Результаты сравнения показывают, что ФЧХ идеализированной модели RC_ЭРП с сеткой конечных элементов 5Ч40 с погрешностью не более 1% совпадает с ФЧХ, вычисленной на основе аналитического выражения, но заметно отличается от ФЧХ, измеренных на экспериментальных образцах. После настройки параметров модели, полученная ФЧХ полностью укладывается в поле рассеяния ФЧХ экспериментальных образцов. Таким образом, доказана адекватность результатов работы программы анализа при соответствующем выборе параметров модели RC_ЭРП.
3. Вопросы реализации генетического алгоритма, применительно к объекту исследования - двумерному RC-ЭРП со структурой слоев вида R-CG-NR, программа структурно-параметрического синтеза RC-ЭРП и проведена оптимизация параметров генетического алгоритма по скорости сходимости
Поскольку для такого RC-ЭРП ДО КРЭ имеет большее число параметров и более высокий порядок матрицы проводимости, то потребуется дополнительный объем памяти и увеличится сложность алгоритмов генетических операций. Для устранения этих недостатков предложен новый способ кодирования информации о структуре и параметрах двумерного RC-ЭРП, использующий теоретико-множественный подход.
В соответствии с методом конечных распределенных элементов множество прямоугольных областей разбиения RC-ЭРП можно представить как
Sх = {a1, a2, … ai,… an} - , (1)
где dfe - конечные элементы, на которые разбивается площадь RC-ЭРП, k - конечные элементы, образуемые проводящими контактами к резистивным слоям по периметру RC-ЭРП,
,
N1 - количество областей разбиения по длине RC-ЭРП, N2 - количество областей разбиения по ширине RC-ЭРП, , где - подмножество областей, расположенных по периметру резистивных слоев R и NR двумерного RC-ЭРП со структурой слоев вида R-CG-NR.
При этом формируется одна хромосома для площади RC-ЭРП вида
, (2)
и вторая хромосома контактных площадок вида:
, , (3)
где каждая строка матрицы соответствует генам одной из сторон прямоугольного RC-ЭРП. В формулах (2) и (3) индексы битовых переменных соответствует: 1 - слою R, индекс 2 - слою C, а индекс 3 - слою NR.
Функция отображения множества Sdfe на множество Edfe запишется в виде:
(4)
а функция обратного отображения в виде:
(5)
здесь L наличие материала соответствующего слоя, Null его отсутствие.
Принцип кодирования информации о конструкции RC-ЭРП пояснен на рисунке 6.
Рисунок 6 - Иллюстрация принципа кодирования информации о конструкции двумерного RC_ЭРП со структурой слоев вида R-CG-NR: а - конструкция RC-ЭРП, разбитая на КЭ; б - конечный элемент; в - хромосома Еdfe; г - хромосома Еk
В предложенном методе требуемый объем памяти для хранения информации о структуре и параметрах RC-ЭРП зависит только от числа конечных элементов и не зависит от сложности синтезируемой топологии.
С учетом предложенного метода кодирования разработаны алгоритмы выполнения генетических операций кроссинговера и мутации.
Поскольку хромосомы родительских особей представляют собой двумерные массивы бинарных чисел, то алгоритм кроссинговера реализует двухточечный кроссинговер в двумерном представлении, в котором случайным образом выбираются две точки по каждой координате массива: начальный номер строки и длина строки, начальный номер столбца и высота столбца.
Оператор мутации действует как операция «исключающее ИЛИ» над битами. Если бит в векторе мутации установлен в «1», то бит хромосомы в соответствующей позиции инвертируется. Число мутируемых генов определяется вектором мутации M, который задается на каждом шаге алгоритма исходя из настроек вероятностей мутации.
,, (6)
b1 = 1, если rand > pR1, иначе b1 = 0,
b2 = 1, если rand > pC, иначе b2 = 0,
b3 = 1, если rand > pR3, иначе b3 = 0,
где rand - случайное число в диапазоне [0; 1], pR1, pR3 - вероятность мутации соответственно верхнего и нижнего резистивного слоя, pC - вероятность мутации диэлектрического слоя.
Разработана программа синтеза конструкций RC-ЭРП, в которой можно использовать пять различных моделей RC-ЭРП, уменьшена трудоемкость формирования начальной популяции, при сохранении результатов синтеза также сохраняются настройки синтеза, предусмотрена возможность экспорта результатов расчета y-параметров, АЧХ и ФЧХ для использования в других программах.