ДуДх |
Ду&» » |
Р)
Так как описываемая идееи структурно-механическая модель со стоит из линейно-упругих элементен, то совершенно очевидно, НТО связь между эффективными напряжениями н эффект]Iлиыми де формациями также будет носить линейный характер, т. с. подчи няться закону Гука
(«)
где В<— эффективны» модуль Юнга композита, а и€— его э«|к}юктпвныН коэффициент Пуассона.
Для определения Ес и 1/с в макронэотроппом материале доста точно рассмотреть лишь его одноосное нагружение, которое модели ровалось в стержневой системе следующим образом.
Пусть растяжение данного мсзоэлсмснта производится вдоль оси у. Тогда внутри него около 3- и 4-П граней (перпендикулярных на правлению приложении нагрузки) следует выдели7ь два граничных слоя с толщиной 6$) рапной примерно 1 -г 2 характерным разме рам ССЭ. При задании граничных условий первого роди ко всем
узлам, попавшим в один из этих слоев, прикладываются силы, со впадающие но направлению с внешисН нормалью к соответствую щей поверхности ыезоэлемента. Пели же задаются граничные усло вии в т о р о г о рода, то каждому Хг-му узлу из выделенного приповерх ностного слоя придается перемещение и*, величина которого пря мо пропорциональна расстоянию от данной Зточкн до верхней тра пп. Тем самым в рассматриваемом объеме моделируется макроодпородаое поле растягивающих деформаций. Далее решается обычная конечно-элементная задача и отыскиваются перемещения лссх уз лов стержневой системы. Зная кч перемещения, можно определить продольные деформации ССЭ и возникающие л них усилии (но из вестным жесткостям). Этой информации уже вполне достаточно, чтобы с помощью формул (5)-(7) получить недостающие значения макронапряжений или макродеформаций.
Данный способ определения компонент тензоров <г^ и е можно существенно улучшить, если перейти от осреднения по границам меэоэлемсита к осреднению по его объему, так как это ношюл яет более полно учесть все особенности его структуры. Некоторое усложнение расчетной схемы вполне компенсируется повышением качества ре зультатов. Основная идея перехода к объемному осреднению состоит и следующем.
Внутри области проводится набор из н секущих плоскостей, пер пендикулярных оси внешнего нагружения (в нашем случае оси у) и отстоящих друг от друга на рапных расстояниях. Число п выбира ется таким образом, чтобы количество ССЭ » каждом из сечений не сильно отличалось от среднего значения. При расчете суммарного усилия, действующего па 1-И секущей плоскости, для всех пересека ющих ее стержневых структурных элементов вычисляются возни кающие в них силы реакции на приложенную внешнюю нагрузку, а также нх проекции па ось у — Р*к (& — помер ССЭ). Среднее нор мальное напряжение, действующее на *-й плоскости, определяется но формуле
|
т, |
м * = |
-V . у у * |
|
у 9 |
г д е пи — число структурных элементов П Г-М СС1СШШ.
Перемещение 1-Л секущеК плоскости п направлении у определи стся как сроднее арифметическое смещений всех пц точек ее пере* сечения со ^своими” ССЭ — и^*:
Зная эти перемещения, можно найти соответствующую дес[>ормацлю объема, '.включенною между любыми |’-м (у? = соиз1) и /-м (у? = сопз1) ссчсниими, как
(10)
Если граничные услопин заданы о перемещениях, то выраже ние (10) преобразуется к пилу
(И)
так как при выбранной схеме нагружения верхняя грапь мезоэлемента (у2 = сопя1) остается неподоижш>11, а перемещается лтныппкняя граница структуры. Н этом случае осреднение но объему эле ментарной области ДУ наиболее естественно проиоднгь, рассчиты вая деформацию сечений относительно закрепленной поверхности. Сравнение результатов расчетов, полученных при задании граличпых условии как о перемещениях, так и а напряжениях, показало, что первый способ позволяет более надежно и с меньшими искажени ями моделировать макрооднеродное поле растягивающих деформа ции, что и послужило основанном для выбора се в качестве базовой.
Середина еще раз {ау>}' и {е^)* по леем п сечениям, получим искомые значения компонент и
Поиск остальных компонент тензоров |
и е - производится п соот |
ветствии с соотношениями (6),(7) по той же схеме. |
|
Теперь уже ничто не мешает нам вычислить эффективные упру гие константы наполненного композита Ее (модуль Юнга композита) и (коэффициент Пуассона), воспользовавшись (формулами зако на Гука (8), которые для случая одноосного растяжения принимают
□ИД
Вс + $*■,
чЛи> 1 |
II |
( I I )
>
2.4.Осреди сине и оценка прсдстапнгелыю стм объем а структурного мезоэлемецта
Определение эффективных свойств композитов методами струк турного моделирования неизбежно ставит вопрос о тех предельных размерах мсзоэлсмснта, для которых сираиедлипы установленные и предыдущем разделе соотношения. Рассуждения по этому пово ду носили пока слишком общий характер, и понятие о иредстаиительпом объеме выборки, достоверно отображающей макросвойства исследуемого материала, нуждается п уточнении применительно к каждому конкретному хлассу задач.
Разумеется, если работать с системами, п которых содержится заведомо избыточное количество структурных элементов (а это де сятки, сотни тысяч частиц), то полученные результаты будут иметь практически нулевой случайный разброс. Однако такое решение проблемы сведет на ист все преимущества струхтурного подхода изза огромных объемов и стоимости вычислений.
13 то же время, оперируя слишком малыми выборками, трудно получить правдоподобные данные вследствие большого статистиче ского разброса, вызванного невозможностью отобразить на мало!! базе все необходимые особенности структуры композитного матери ала. Следовательно, задача состоят в определении разумного опти мального числа структурных элементов, которое должна содержать
структурно-механическая модель, чтобы с достаточной точностью отображать эффективное поведение композита и б то же время не вызывать чрезмерных затрат компьютерных ресурсов.
Вопрос о нредс1,аш1телыюст11 объема для плоских структурных моделей, предназначенных дли описания свойств однонаправленных волокнистых композитов со случаи ной укладкой армирующих эле ментов, исследовался Г. И. Хаитом. Он изучал статистические рас пределения усилий и деформации, возникающих в плоских стерж невых структурных элементах при одноосном макрорастиженин си стемы н плоскости, перпендикулярно)! к направлению волокон. С помощью этих распределений была произведена оценка представи тельного числа структурных элементов в зависимости от требуемой точности результатов при различных плотностях укладки волокон. Было установлено, что при концентрациях в пределах от 0,5 до 0,86 от предельно достижимой 90%-н надежность расчета эффективных упрул1х характеристик композита обеспечивается системами, содер жащими от 800 до 500 СОЭ, что соответствует примерно 150 Ч- 250 волокнам.
Чисто геометрические исследовании плотных и разреженных слу чайных структур (см. главу 2) показали, что для получении устой чивых структурных характеристик требуются ансамбли, состоящие примерно из 150 -г 200 частиц, независимо от того, плоские это си стемы (из дисков) и л и и ростр аистпенные (из сфер), Отсюда можно предположить, что полученные Хантом результаты применимы и в пространственном случае, т. е. для падежного определетгя эффек тивных упругих характеристик наполненного зернистого композита с точностью порядка 90% достаточно иметь структуры, содержащие примерно такое же количество включений. Увеличение возможных локальных конфигураций взаимного расположения частиц, вызы ваемое появлением третьего измерения, будет учтено соответствую щим ростом числа ССЭ. Например, в случайной пространственной системе из 200 частиц их будет уже порядка тысячи.
Для того чтобы исключить искажающее влияние граничных эф фектов, а также для большей надежности исследования велись на структурах, содержащих от 300 до 500 частиц (примерно 1500 *г 2500 ССЭ). Такие объемы оказались оптимальными для расчетов, ток КПК они обеспечивали вполне приемлемую точность результатов, н