В случае несжимаемою материала /3 - |
1. Тогда \У а |
|
; \ |
|||
к и выражении (2) используется потенциал |
|
1 |
' |
|||
|
Ж # = И '+ |> ( й - 1 ) 1 |
|
|
|
||
где р — множитель Лагранжа: |
|
|
|
|
||
дф |
, д \У \ |
д\У ^ |
„ . |
(6>> |
||
м |
+ 11дГг Г ~ Щ |
+ ; , а |
||||
|
|
|||||
Здесь р уже не трактуется ках обобщенный модуль упругости в от личие от (6]). Это неизвестная величина, определяемая из решения задачи при условии несжимаемости /3 = 1 .
1.2.СлпбосжнмаеммИ материал
Отличны!! от изложенного выше подход к построению уравне ния состояния для несжимаемых материалом предложен о (23,28,29]. Его особенность заключается в том, что сжихюсмость (несжимае мость) материала определяется не кинематической зависимостью - отличием третьего инварианта /3 от единицы, а обобщенным моду лем упругости, по величине которого можно судить о степени сжи маемости материала. Поэтому подход применим и к построению определяющих урашишиИ для слабое» имаемых сред, для которых метод множителе]! Лагранжа не осуществим, а выражение (6]) мо жет провеет к большим погрешностям при счете (аналогичная си туация возникает в линейной теории упругости при коэффициенте Пуассона, близком к 0,6). Аппроксимация же слабоежнмасмого ма териала косжнмасмым некорректна особенно и области сильно стес ненно!! деформации. Дальнейшему развитию подхода и (23,28.29] к посвящен настоящий раздел.
В выражении (3) упругий потенциал IV есть функция главных инвариантов тензора меры деформаций Коти — Грина О* [12]
С * . |
/ , \= ( / ? - / , ( С ' 3 ) ) . |
ь = исцол = \(Л «згЭ) - л м « * г) + / , / , ) . |
(г,) |
С помощью этих инвариантов можно построить новые, использова ние которых л качестве независимых аргументов в упругом потенци але приводитх различным формам записи уравнения состояния. Об общенные модули упругости этих уравнений состояния определяют ся или упругим потенциалом (селк он известен) или непосредствен но из экспериментальных данных. В первом случае использование и IV ТОЙ пли другой группы ншшриантои нс имеет существенного значения, н то иремн как но втором случае это может значительно упростить идентификацию обобщенных модулсII упругости,
Рассмотрим три группы инвариантов тензора Ог и принадлеж
ность инварианта Л (1 = 1,2,3) к Л-й группе (Л = 1,2,3) будем опре-
к
делить индексом к кал Л* (Л). Первая группа инвариантов определя ется выражениями (7]), а две другие - следующими соотношения ми:
/ |= / |/ * з ', |
Ь = /2 /;3у , |
*з=Гз; |
(7т) |
/ 1 = Л - № - 1 ) . |
/з= А -2 (/а - |
1), /я= / э. |
(73) |
2 2
Инварианты /] и /2 введены Ценном [30) и являются, как пока зал Пальмой [18), главными инвариантами тензора который определяет только изменение формы, так как его третий инвариант равен единице. Инварианты (7м) введены в (23]. Они вытекают из известных соотношений, связывающих главные инварианты тензора меры деформаций Коши — Грина и тензора деформаций Коши — Грина л (в = 1,2,3) [12] :
I 1
Л= + 3, /*= 1;, 4- А]2 + 3, 1з —2,7*1 4* + 8уз 4 1. (8)
Определяя из последнего выражении величину 2^1 и подставляя ее в первые два, получаем
Л = 3 - |
- 8;'з 4 (Ь —1), /а = 3 - 4;2 - 16;*з 4- 2(/3 - 1), |
и, вводя обозначения
за
Л = 3 - А)? - 8; я, /2= 3 - А)? - 1673,
приходимк инвариантам(7л). Инварианты(7г) и(7а) слизали про стыми соотношениями.Действительно,используя разложениеврад
по Гав окрестности единицывеличин 1{$* и1//^Я, приходимк
следующимвыражениям:
л = | ? 4 ( 1 - ^ - 1 ) + ) =
=А - №- Ц- 5 (А - з) №- 1)+ ■•• =
=А-ЦА-з)и3-1)+--,
А = ^ 7 э = ^ ( 1 - | ( /з - 1 ) + • • • ) »
=Л - 2(/э - 1) _ | _ з ) (/э - 1) Н---------
= А - | ( А - з ) ( / з - 1 ) +
Ослучае малых деформаций,сохраняя л этих выражениях только членыдо третьего порядка малости включительно, приходимксо-
7 3 Т 3
отношениям 1\=1\ и /а=Г2,
С помощью инвариантов (7|.) - (7э) упругий потенциал (3) пред ставляется в следующих эквивалентных <|юрмах:
И', (А,А./э) = IV, (А 4/3.А #3,/з) =
=IV, (А +(/з - 1),А+2(/а - 1),/з) *
=щ(А,А,/з) = % (А.А,/з)
Разложим уирушй потенциал IV* (Л= 1,2 ,3 )п ряд по /3 в окрсстноспг единицы, ограничиваясь в силу слабой сжимаемости материала членами второго порядка малости:
И'ь = 1И + XI (?з - |
0 |
т 5 |
XI (/» - О3. |
|
где |
|
|
|
|
XI ('VА) = |
д \ У к |
|||
Ж / 3 = 1 |
||||
А ( и |
) |
= |
а |
1 |
|
|
» Ч |
1/3=.’ |
|
Л-= |
1,2,3. |
|
|
|
Сисполнюпапизм этих выражений соотношение (0|) записывается
оследующих формах:
с* = я с , + (А в - с * ) с г + о /3е * - ‘,
^ |
Ч = ^ ( |
|
8- Т 6’" ) ^ + |
|
||||
1 / |
1 |
2 |
1 |
, \ |
2 |
2 |
|
|
+ / р V 1 8 " с " " 3 н с |
) Сг + ° ь е - ‘, |
(9 а) |
||||||
^ Ч = (е - |
4 а 1' 1) с , |
+ ( / , |
в - с т - |
2/оС *-1) с , |
+ |
|||
|
|
+ йг/3С Х |
1, |
|
|
(9а) |
||
1‘Дс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к ( к |
* > |
ж |
, |
* |
п |
к |
|
|
° \ |
/ = /Я" |
°= 1 |
Х*' |
|
||||
С<{Л, /я, Ь) =*■• + и ('з " 1) + « К (/я - 1)я,
= д \у /б и , |
& |
- д х \ |
/аЛ , |
|
ь / ь |
1 \ |
* |
& |
|
^ |
|
= |
/ ^ > |
|
А; = |
1,2,3 |
1 = |
1,2. |
(Ц)) |
В «(деформированной конфигурации уравнения (9]) - (0а) сподятся к выражениям
(*1 (3.3) + 2 кг (3,3)+ *\ (3,3)) в,
^ = » (3,3)в, ^ - Т ? 3 (3,3)8,
н если эта конфигурация натуральная (не напряженная)» то выпол няются соотношения
*1 (3,3) +21* (3,3)+ X. (3,3) = 0.
XI (з,з) =хм (з.з) = о. |
(И) |
1.3, Связь обобщенных модулей упругости с константами эахопа Гука
Получим из выражений (90 - (9а) зависимости для линейной теории упругости. Для этого разложим их в ряд по О* в окрестности 2 , ограничиваясь членами первого порядка малости. Принимая по внимание соотношения [13]
А (Р(д ) . 5(я)) = ^ ? 8 ( ч ) + р ( д ) - | | ,
8<3‘~1 - с * - 1 с ;, 1 с 1- 1,
В в ж