<*> - 2А ( с , +2 С2) + 2А (к1! + Х2 (А2 - 1)) ; |
си,> |
|
т (й + й )'1- ^
+2А (д? .+ Л ( А 2 - 1) ) ,
*” = ~ЭЛ*7* ( ° ‘ +Л*^| (‘ " А*)+
+ 2А (х. + х г (А1 - 1)) ; (М .)
,11 =, » = 2-!^— (<7, (3,3, Аг)+ С» (3,3,Ла)) +
+ 2А %7 (3;3)(А* - 1), |
|
I33 = 2 А хз (3,3)(А2 - 1 ). |
(Из) |
В этой задаче реально измерить напряжения 211 и I33» и тогда лелл-
ЧИ1Ш X* (3,3,) и С\ (3,3, А3)+ с 2 (3,3,Лг) могут быть легко опреде лены!
Полагая критерием выбора той. или другой группы инвариантов в упругом потенциале простоту определения обобщенных модулей упругости из экспериментальных данных, мы из анализа этих трех задач отдаем предпочтение инвариантам (7э) и в дальнейшем ис пользуем определяющее уранне]гне (9а), (10^ заменяя верхний ин декс 3 над внвариантами на "крыи/ку" (/») и опуская «го у других переменных.
Конечно, нэ уравнений (12|) - (Нз). принимая во внимание со отношения (И), получаем нулепые напряжения для иедеформпро валного состояния. В случае несжимаемого материала Л = 1 для гидростатического напряженного и одноосного де^юрммровашюго состояний. И тогда, с учетом соотношений (11), получаем, что
Поэтому величина сг о уравнениях (9|.) —(93) становится новой не известной величиной, определяемой из решения задачи. Это демон стрирует справедливость определяющих уравнений (9т) - (93), (10) как для слабосжимасмых, так п для несжимаемых материалов.
2.2.Идентифнкпипл обобщенных модулей упругости с помоим*ю упругого потенциили
Располагая упругим потенциалом, легко идентифицировать об общенные модули упругости (*,, к» Фи Хь * = 1 , 2 ) и уравнения со стояния. Покажем это на примере закона Синьорш т (12), упругий потенциал для которого записывается в наших обозначениях в виде
или с помощью соотношений (Тз)<
Из последнего выражения легко определяются величины |
у* и |
+ (—12т ? + ^ т а )/а . |
(^ ) |
Используя соотношения (10), находим
&1 = 1^1, |
1?* = |
2г71з/з + И*а, |
|
|
|
1И| |
_ |
- |
. |
Я'З |
|
РI = — 2~. |
Рз = - З т * /а -М та — |
' |
|
||
3 |
15 |
а |
1 2 т а + |
3 |
I10) |
«1 = ^пц, |
«а = у к п а/ 2 - |
^ э - |
|||
Рассмотрим с использованием удлинения (9з) и упротонного за кона Синьоринц (тщ = 0) просто!! един*. В обозиачапнях, принятых в [12], для упрошенного закона Сипьорнни имеем
* л |
0 |
С \ + *у |
щ °’ |
т * = 8( П ^ у |
т * = ~ Т Г ^ ' |
и так как для этого процесса /3 = 1, то из выражении (16), (16) иаходни
С. = *| = 0, |
2Са = 2*а = С?+ |
С** |
|
|||
|
|
|
|
2 (1 - 21/)' |
|
|
2*. = |
|
_ |
30 |
|
|
|
|
|
2 »/) |
' |
|
||
1 - 2|/ |
8(1 - |
|
||||
_ 6 '( 1 -» ) |
3 0 (3 - 2 ф |
» |
15С»4 |
(И) |
||
2 ( 1 - 2 р ) + |
8 (1 -2 1/) |
+ |
3 2 |
(1- г » / ) - |
||
Используя теперь соотношений (123), получаем следующие ненулепые состаллякнцис тензора напряжении:
1' = 1” = Сшг(2е-$*/4) |
Л |
|
2 |
1 - 2»/ ’ |
|
|
с*3 |
|
|
<|г = С л + |
2г/)' |
|
2 ( 1 - |
|
что полностью совпадает с решением! приведенным и (12], Отметим также, что при 5 = 0 из выражении (17) следуют равенства
полученные ранее при редукции определяющего уравнения (9з) на малые деформации.
3.Вариационная постановка задачи
3,1. Функциейшл I
Краевые задачи нелинейной теории упругости эа редким исклю ченпел! допускают только численное решение. Большое значение среди численных методов приобрели методы, основанные на оарна шивной постановке задачи. Для несжимаемых и слабосжимасмых материалов п линейной теории упругости используются смешанные принципы Геррманна ()), Кп [25], Настегала (27]. Для решения нелилейных задач воспользуемся функционалом
который является нетривиальным обобщением функционала, пред ложенного в (23]. В (1$) Уо — недеформирошмный объслс, и — век тор перемещении, р и р° — поверхностная сила на единицу площади и плотность в недсформирошшноК конфигурации, 5^ — часть по верхности объема Ц,. па которой приложены силы р. Варьируемые параметры функционала (18)- н и и.
Покажем, что пыражение (18) приводит к известному варнацнпиону уравнению
(19)
эквивалентному системе уравнений механики сплошных сред. Два последних интеграла в (19) сразу получаются яри вариации но и двух последних интегралов из (18). Первый интеграл получим для двух случаев; для слабосжимасмого (л ^ 0) и несжимаемого {о- - = 0) материалов. Пусть а = а (/|,/э ) ф 0. Нрооярмгрусм первый интеграл в (18) по С*. Имеем
да ( с г - * ,) * .
ОС* 2 +
(20)
Далее, принимая но шшмание соотношения (5),(10), получаем
0в _ |
д / 1 \ |
1 дх* _ |
|
№ , _ 8 о Л » . / |
х1 о с * “ |
|
|
_ 8 / 9x2 бД |
9x7 д!2 \ _ |
|
|
|
\зД бег |
61-2 дс1) |
|
- -о’((в- Ьаг-‘)п + (Ав- <зх - г/зС*-')^), |
(20 |
||
0*1 |
дх! бД |
Д,\1 ОД _ |
|
вог |
#д да*+ дд да* = |
|
|
= (8 - /зС '-‘)р, + (/18- С г _ 2/зСг -,)рг, |
<И) |
||
о& |
_ 8)У дД |
ей/ д д _ |
|
баг |
дД бв1 + дД 0<зг - |
|
|
= ( е - /з С * - % + (А В- а 1 - 2/3е г" % -