где СГГесть второй изотропный тензор четвертого ранга [13), а
Л * В = Л«>ыг{(г; ■0 )4 1-1
(А — тензор четнертого ранга, В — тензор второго ранга) есть ска лярное произведение справа тензора В и второго базисного вектора тензора А, считая базис иыо векторы слепа направо, я также заме чая, что
к |
|
|
|
ОЬ |
= 0, |
к = 2,3 т = 1,2, |
|
ЛСГ |
|||
|
|
С ’ =в получаем определяющие соотношения, сравнение которых с законом Гука
+
где С — модуль сдвига, А (с) — первый инвариант тензора малых деформаций с и А — константа Ламе, приводит к следующим связям между обобщенными модулями упругости соотношений (90 - (9 э ) и параметрами материала в законе Гуки:
л = 4 {-~ Т |
(*1 +2 *з + А ) |
+ 2-^- Г/Т| +2 *2 + А ) - |
||
\ д к |
4 |
1 |
д ! 2 К |
* |
- |
|
^ + (А +2 А + А )^ | |
> |
|
л " , (А - ( ‘' +Й) ) и . » ;
0 = 2 |
, к = 1,2,3. |
Изэтих соотношений легко получить выражения для объемного мо дуля 1) и коэффициента Пуассона V
2
Иэ последних соотношений вытекает, что если |
д. |
со при к = 2 ил» |
|
3, то В =* оо и V => 0,5. |
|
Как было отмечено выше, обобщенные модули упругости Ь,-,
X,', к = 1,2,3,« = 1,2 в определяющих уравнениях (93) - (93) могут быть найдены из упругого потенциала или но данным зкспе римента. В последнем случае для того чтобы уравнения состояния были энергетически допустимыми, должны выполняться следующие равенства, вытекающие из соотношений (10):
^ 4 |
к |
0р\ |
_ др± |
0 Й _ |
_дкг |
||||
дк |
*к |
к |
~~ к * |
к |
дЬ |
дк |
&к |
2.Идентификация параметров модели
2.1.Идентификация обобщенных модулей упругости ко результатам простейших экспериментов
Покажем принципиальную возможность идентификации некото рых обобщенных модулеII упругости из трех простых экспериментов, и простота их определения будет критерием для пыбора группы ни* вариантов, используемой п упругом потенциале к уравнениях сосго-
Я11ЫИ.
Простой СДМГГ. В этом процессе материальная точка, опре деляемая до деформации радиусом-вектором г = (с* •
I,/ =1,2, 3, Ьц — дельта Кронсксра), занимает ь текущей (актуаль но!^ конфигурации положение
И = (я1 + $е3)о1 + аг2оа + г3сз,
где в — параметр сдвига. Тогда базисные векторы, составляющие истрического тензора и определитель его коларнвнтиых компонент зашинутск и начальной и текущей конфигурациях ышдс
Г1 = б1'/дх*а Г| = О], 1*2 = 02, Га = ел;
0гг = 9й = |
1 |
|
9**== 0» |
ф« 3\ |
9 = 1; |
||
И,- = д Т 1 / д г * \ |
Е | = ^ , |
П-з = ДС| + с*, |
И д —оз; |
||||
Г |
Си = 1 |
С» 12 = « |
|
С?1д = 0 |
1 |
||
\ |
Оц = 3 |
6>»г = 1‘1"** |
С?23 = 0 |
>, |
|||
[ |
С31 = О |
С32 = 0 |
|
<7зз = 1 |
^ |
||
[ |
С п |
= |
{ + *2 С 12 |
= - а |
О1* = 0 |
^ |
|
< О21 |
= |
- 5 |
<?и |
= 1 |
Сп = 0 |
|
|
[ |
С 31 |
= |
О |
О33 |
= О |
С**=1 |
) |
0 = 1. Из этих соотношений вытекает, что 1\ = дЧС?*/ = 3 + *2, / 2=
1 2 |
3 |
= { С Ш 1 & = З + в2, /3 = 1 и |
= 1 , 2 , и из опрсделя- |
ющих уравнений (91) - р з) колу чаем следующие ненулевые соста вляющие тензора истиных напряжении Т = ^ ’е*е^:
<и = 2 х| - | ( А + 2 ь ) Л
(•*3 = 2 XI —д ( а*1 — |
|
(122) |
||
(11 = 2 XI +2 (* . + А'а^ а1, |
(,г = |
2 ^'1 + |
4 ,) а, |
|
1п = 2Х1. |
1зэ = 2 Х3,+ 2 |
4»**- |
(12,) |
|
Для этой задачи экспериментальные данные реально получить для составляющих тензора напряжении 1п 91за и 133, и из последних »юж-
* Ь |
к |
|
но определить обобщенные модули упругости Л), *а ч XI* Наиболее |
||
з |
а |
д |
удобны для этого простейшие выражения (12а) для |
|
к? и Х1 < |
Гидростатическое напряж енное состояние. |
|
В этом про |
цессе начальная и актуальная конфигурации определяются радиу сами-векторами г = х‘е,-, Я = А*вО(, и тогда
Ч= 41, 9,, = 9й = 11»= 1.2,3;
91} - |
9° =0, |
I ф ]; |
9 = 1 ; |
|
К,- = ><*. С„ = А1, С" = |
1/А2, , = 1.2,3; |
|||
Сц = С” = 0, >?}■ |
С = А6; |
|||
А= ЗА2, |
/2= ЗА1, |
1а = А*, |
/]=/* = 3; |
|
-Ь=ЗЛа -(А 0 _ 1), |
Л = ЗА4 - |
2(А“ - 1). |
||
3 2
Так как /1=/з= 3, то из соотношении (II) следует, что XI— а 1,3 выражений (Ох) - (93) получаем
1
I" = | ” = <*э = 2 ^ + А Сг А+
*11 = |
= <" = 2А3 х , (3,3)(А° - 1); |
(13,) |
|
- А 3) + 4 < ? ,А (1 - |
|
|
+2А3 (х! + X, (>' - О) • |
(13з) |
В этом процессе легко определяете» пеличииа-хэ (3>3).
Одноосное деформированное состояние. Этому процессу соотвстстьуст осажлиапис сп лотков цилиндра о замкнутом объеме. Кинематические н силовые характеристики процесса в цилиндриче ской системе координат —г, 72 = *рхд3 = г, где в* -обобщенные координаты, определяются зависимостями
Г = ГГ] + |
21*3, |
К = |
Г Г| + А « э ; |
1*1 = в |, 1*а=гва, |
гз = ез, |
|с,*|= 1, 1 » 1.2,3, |
|
Оп = 1713 = !?зз = 033= 1; 977 - |
1,7* 927 ~ |
|||||
9Ц = 9** = 0, |
%фк |
9 = г2; |
||||
И, =еь |
Яа = гс2| |
Из “ Аез, |
||||
О ц = О " = |
1. |
|
а = |
г2, |
Суз = А3, |
|
С22= 1 /т\ |
С ээ = 1/А2, |
С(7 = С « = 0, |
||||
|
|
0 = (г А )2; |
|
|||
Л = 2 |
+ А а, |
/3= 1 |
+2Аа, |
/з = А*: |
||
* 2 + А2 |
? 1 + 2Л2 |
з з _ |
||||
/] = Д 2/3 » |
/а= |
■ |
А4/ Л |
/ 1= / 2== 3| |
||
н иэ соотношений (II) и (01) —(9э) получаем, что XI—® 11
= 1» = 2 ^ + 2 ^ + А ^ С, +2А (х 1 + XI (А1 “ »)) .