Материал: Сумин Интегралные уравнения Фредголма и Волтерра 2016

Таким образом, если числовой параметр λ и функция y(x) яв-

ляются соответствующими друг другу собственным значением и собственной функцией (ненулевым решением) краевой задачи (14.1), (14.2), то λ и y(x) являются отвечающими друг другу ха-

рактеристическим числом и собственной функцией интегрального уравнения (16.1).

Отметим, что ядро K (x, ξ) = G(x, ξ) r(ξ) интегрального уравне-

ния (16.1), вообще говоря, – несимметричное.

Преобразуем интегральное уравнение (16.1), умножив обе части

a

с симметричным ядром

K (x, ξ) = G(x, ξ) r(x) r(ξ) .

Интегральные уравнения (16.1) и (16.2) эквивалентны, т.е. если при некотором λ непрерывная функция y(x) – решение интегрального

уравнения (16.1), то непрерывная функция z(x) = y(x) r(x) – ре-

шение интегрального уравнения (16.2) при том же λ, и, наоборот, если непрерывная функция z(x) является решением интегрального

уравнения (16.2), то непрерывная функция y(x) = zr((xx)) (напом-

ним, что r(x) >0 на [a, b] ) является решением интегрального

уравнения (16.1).

Во многих случаях приходится рассматривать дифференциальное уравнение 2-го порядка вида

с краевыми условиями (14.2).

81

При h(x) ≡ 0 получаем дифференциальное уравнение

Если однородная краевая задача (16.4), (14.2) имеет функцию Грина G(x, ξ) , то краевая задача (16.3), (14.2) эквивалентна уравнению

Фредгольма 2-го рода

В частности, однородная краевая задача (16.4), (14.2) эквивалентна однородному интегральному уравнению

к интегральному уравнению.

Решение. В данном примере согласно (14.1) имеем p(x) =1 , r(x) =1, q(x) = −1 .

Найдем функцию Грина G(x, ξ) для соответствующей однородной краевой задачи

82

Пользуясь функцией Грина, получим следующее интегральное уравнение (типа (16.1) или (16.2), где r(x) ≡1)

Отметим, что ядро K (x, ξ) =G(x, ξ) r(ξ) в данном примере являет-

ся симметричным.

Пример 16.2. Свести краевую задачу

к интегральному уравнению.

Решение. Выясним сначала, существует ли функция Грина для соответствующей однородной краевой задачи

решение y(x) ≡ 0 . Итак, функция Грина существует и единственна.

83

Решение y1 (x) = x удовлетворяет краевому условию y1 (0) =0 , а

y2 π2 = 0 , причем эти решения являются л.н.з.

Тогда согласно 2-му методу найдем значение определителя

Пользуясь функцией Грина как ядром интегрального уравнения, запишем следующее интегральное уравнение

Итак, краевая задача (16.8) свелась к интегральному уравнению

84

Пример 16.3. Свести краевую задачу

к интегральному уравнению.

Решение. Выясним сначала, существует ли функция Грина для соответствующей однородной краевой задачи

Очевидно, что дифференциальное уравнение y′′(x) =0 имеет решение y(x) = Ax + B . Краевые условия дают два соотношения для определения A и B:

откуда A = B = 0 , т.е. краевая задача (16.11) имеет только нулевое решение y(x) ≡ 0 . Итак, функция Грина существует и единственна.

Согласно 1-му методу выражение для функции Грина записывается в виде, аналогичном общему решению дифференциального уравнения:

85