Материал: Теория линейных электрических цепей учеб. пособие

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Первая скобка правой части согласно (16.46) — удвоенная сумма средних магнитных энергий, связанных со всеми индуктивностями контуров:

W„ с р

= I [LXI\ + LJI + L i s I h -

U 18].

(16.54)

Вторая скобка

согласно (16.47) — сумма

средних

электриче­

ских энергий, связанных со всеми емкостями системы, умноженная на 2со2, а именно:

w э сР — 2 ш 2 т^- /ï + -?=•- +~г— ! А - • Д (16.55) Поэтому после подстановки средних значений энергии из (16.54)

и(16.55) в равенство (16.53) получается основная формула (16.48).

3.Многоконтурная схема. Рассмотрим интересующий нас реак­ тивный двухполюсник, состоящий из п контуров, ко входу кото­ рого приложено напряжение U'. Так как в реактивном двухполюс­ нике все активные сопротивления равны нулю, то уравнения для контурных токов после деления на / примут такой вид:

(16.56)

Для того чтобы определить полную мощность системы, умножим

первое уравнение

на /*, второе на / | и т. д. и сложим их:

п

п

п

п

* = і

і=і

k=i

i = i

где k — номер строки характеристического определителя, / — номер столбца, причем знак «плюс» имеет место в тех членах двойных сумм, для которых k = /, если же k ф I, надо принимать во внима­ ние знак «минус». Так как полная мощность в комплексной форме

S = Üi? = P + jQ, то

-jÜl^Q-jP.

Из равенства (16.57) следует, что активная мощность Р равна нулю, как и должно быть для реактивного двухполюсника, и левая часть равенства — реактивная мощность Q. Первый член левой части ра-

501

венства (16.57) — средняя

магнитная энергия системы,

умножен­

ная на 2со, второй член —

средняя электрическая энергия

системы,

умноженная на 2со, что доказывается совершенно аналогично тому, как были выведены равенства (16.54) и (16.55). Поэтому равенство' (16.57) совпадает с формулой (16.48).

4. Теорема Фостера. Установив основные энергетические соот­

ношения, переходим к доказательству теоремы Фостера.

 

Для этого

продифференцируем

 

все

уравнения

(16.56)

по со.

Так как напряжение U задано и не зависит от со, то после переноса

всех членов, не содержащих производных от тока,

в правую

часть

получается

следующая

 

система

уравнений:

 

 

coLi

l

 

dlx

 

coL12 " coCV

dl,

 

 

 

 

(йСцІ

dw

 

da>

 

/1 +

 

 

coLl

 

1

 

1

 

dr

 

 

-

L' i

l

i

 

 

 

шСы

J dû)

 

 

 

n

~

 

û ) 2 C r

 

 

+

 

\ L l 2 + c o C 1 2

/ e + . . . + L 1 л _ Г

с о 2 С 1 л

 

 

 

 

 

1

\

 

dli

,

,

,

 

 

1

\ d/2

 

 

— ! coL21 ' û ) C 2 1

 

d û T + f ^ 2 2

 

Û)C22

/ dû)

 

 

 

 

coL2 n

-

 

1

 

 

 

 

 

 

 

h

-

 

 

 

 

û ) C 2 n /

dco

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

œ 2 C 2 1

 

 

 

 

L 22 "

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

Û)2C,

/2

+ ...+

 

L 2

n +CD2C2/t

 

 

coL„i

1

 

\d/i

—

i

r

•

 

1

\d/ 2

 

 

 

 

 

- H

( coL„2

o ) C „ 2

/ dw

 

 

 

 

û)Cr a 1

/ dû)

 

din

 

 

 

- . . . + ( coL„„

-

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CÛ2C„

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-Л2 ' û)2 C„1

/2 +...

 

 

 

c o 2 C „

 

 

Для производных оттоков по угловой частоте получилась система уравнений с такой же матрицей коэффициентов, как в системе (16.56), но в правой части для т - й строчки стоят выражения

- 2

-•ml ' со2 С;ml

і -

і

где, как и ранее, знак «плюс» берется при m = I, знак «минус» — при m =£ I . Согласно § 11.7 найдем решение для ~ - :

 

Lml • со2 С1

dlj

ml

(16.58)

d û 7

 

502

Но решениями

 

уравнений (16.56)

являются

 

 

 

 

 

 

/ = —

iff - l

m

 

поэтому, принимая

во внимание,

что А1т — Ат1, равенство (16.58)

можно записать так:

 

 

 

 

 

 

 

 

ri

ri

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2±{L^+-Àm7)h'"

 

 

 

 

 

. _т = 1 / = 1

 

 

 

 

du>

'

 

(j

 

 

 

Согласно тому, что было сказано

при обсуждении

равенства

(16.57),

 

 

 

 

 

 

 

2 2 ± L

^ e

2

w r - c p .

2 Ъ ± ^ к ; 1 * т І і = ш * ^

Так как двухполюсник реактивен, то по отношению к напряже­

нию

все токи

реактивны

и І * т

= —

І т , Поэтому

производная от

тока

в первом

контуре

 

 

 

 

 

 

 

 

dH_

2 ( Ц 7 м с р + Г э с р )

 

 

 

 

 

^ 7 = 7

V

 

<16-59)

С другой стороны, обозначив мнимую часть входного сопроти­ вления двухполюсника

X = J m { Z ( / c o ) } = ^ ,

получим

у і - i x -

Следовательно,

Так как

X—-~ — • мі ML fh ~ J ül* ~ Q

и согласно формуле (16.48)

2со ( W u e 9 - V t e v y

то после подстановки этого значения в равенство (16.60) получается

dk _ , 4 c û 4 U 7 M C p - H 7 3 C P ) 3 dX dco 1 t/з 'da'

Сравнивая это равенство с равенством (16.59), получаем окон­ чательно

dim {Z (/со)} _ dX _

U2 (WM c p + W3 cp)

(16.61)

dco dco

2^(Wacp-W3cpr

 

503

В правой части этого равенства все величины положительны. Следовательно,

J m j Z ( / c o ) } > Q -

( 1 6 6 2 )

При построении частотной характеристики с увеличением угло­ вой частоты мнимая часть входного сопротивления Jm {Z} после нуля увеличивается, стремясь к бесконечности, т. е. после нуля следует полюс. При значении to, соответствующем полюсу, проис­ ходит скачок от + С О до —оо, далее Jm {Z} опять растет и доходит до нуля. Таким образом, нули и полюса чередуются. Теорема Фостера для входных сопротивлений доказана. Перейдем к вход­ ным проводимостям. Так как

т /л/ч

 

Y

1

 

1

j m ( y ) = T

=

_ =

=

_ 1 _ l

то

 

 

 

 

 

dim

(Y)

_

1

 

d Jm (Z)

rfcù

~ '

[Jm (Z)]2

'

dco

и согласно неравенству

(16.62)

 

0- Следовательно, и для

частотной характеристики входной проводимости теорема Фостера доказана.

Источник: https://tut-files.ru/previewfile/125945

Смотрите также:

Анализ эффективности инвестиций предприятия на примере ООО «СпецПримСтрой»
Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»