Материал: Теория линейных электрических цепей учеб. пособие

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Теперь

 

 

 

 

Ulli

— ZB [/|Пад— /іотр — 2/ Jm (Лпад^Ютр)]-

Подставляя это выражение в (15.68), находим

Рі = Re \{RB + /Х„) [І\пы

-

P l m p - /2 Jm

( / 1 п а д / 1 о т р ) ] }

или

 

 

 

 

Pi =

lb^R»-llrpRs

+

2XBJm(!lnJloip).

(15.69)

Формула (15.69) является наиболее общей для расчета Рх. Она

состоит из трех слагаемых:

 

 

 

 

1\ nanRe =

^іпад—

 

(15.70)

мощность падающей волны на входе линии,

 

llorpRu

— PloTp—

 

(15.71)

мощность отраженной волны на

входе

линии,

 

2 Х в Л т ( / 1 п а

д / 1

о т р ) =

Р 1 в з -

(15.72)

мощность взаимодействия падающей и отраженной волн на входе линии.

Таким образом,

 

 

 

 

 

Л ^ І п а д - Л о т р

+ Z W

(15.73)

Очевидно, что часть мощности Рг

потребляется

приемником.

Обозначим эту часть мощности через

 

 

Мощность

 

Ръ

= І\Яг.

(15.74)

 

 

 

 

 

 

 

Рі-Р*

= Ря

 

(15.75)

рассеивается

в проводах

линии.

 

 

Последнее равенство представляет собой баланс мощности в ли­

нии. Рассмотрим частные

случаи.

 

 

2. Линия без потерь. Волновое сопротивление линии без потерь

имеет активный характер ZB =

р. В этом случае мощность взаимо­

действия Р1вз

— 0, а

 

 

 

 

 

Рі = Рѵ*м-Piw,

 

(15.76)

т. е. Рх может рассматриваться

как

разность между

мощностями

падающей и отраженной волн, причем

 

 

Ріпад =

^ІпадР»

-^іотр= -^іотрР-

(15.77)

Комплексные значения тока падающей и отраженной волн для любой точки линии могут быть записаны на основании (14.5) в сле­

дующем виде:

 

 

 

/ — u2 + h9 /ßv

/

#2 — /ар / ß v

' пад ' 2р

'

0 Т Р —

2р

463

или

m+

 

 

 

/отр=I {(R2

 

 

 

/„ад =

р) +

/Х2 ] е'&\

 

- р) + /Х2 ]

е-'Рл

Квадраты

модулей

этих величин

не зависят от у:

 

 

 

/2

 

 

 

а

/а

 

 

 

/пад = /іпад = 4^2 [(^2 +

Р)2 + %І]»

 

^отр =

/j0 T p =

4^2" [(#2 ~ P)2 + ^ ! ] -

Поэтому для мощностей падающей и отраженной волн

 

Лпад = - § [(/?s + P)2

+ XI],

Р 1

о т р =

[(Я2 -

p)2

+ XI].

(1 5.78)

Разность этих

мощностей

 

 

 

 

 

 

 

Pi = Р і п а д -

/>1отр =

 

[(R* +

P)2 - (Rt

-

P)2]

 

или после

несложных

преобразований

 

 

 

 

 

 

Pi — РІпад

 

-Ріотр = =

F%R<i-

 

 

 

Последнее равенство показывает, что отдаваемая генератором мощ­

ность Р-у равна мощности,

потребляемой

в нагрузке,

т. е.

/ Э 1 =

Р і п а д - Л о т р =

/ 3 2 -

(15.79)

Этот результат является естественным, поскольку в линии без потерь мощность Рл, определяемая равенством (15.75), равна нулю.

Разделив Р 1 о т р на Р 1 п а д ,

имеем

 

 

Р

(Rt + рУ + ХІ

!р2І 2 .

(15.80)

Л п а д

 

 

где |р 2 | — модуль коэффициента отражения, определяемого равен­ ством (14.21). Равенство (15.80) показывает, что модуль коэффи­ циента отражения в линии без потерь может быть определен через отношение мощностей падающей и отраженной волн. Если нагрузка линии представляет собой активное сопротивление, т. е. Х 2 = 0,

то из (15.80) легко получить

Я 1 о т р

/1 — К

\ 2

=

.

— р\, где К — коэф-

фициент бегущей или стоячей

"іпад

\ ' т Л

/

волны.

 

 

3. Линия с малыми потерями. Если потери в линии малы и вол­ новое сопротивление можно считать активным, то (15.76) и (15.77) сохраняют силу. Однако падающая и отраженная волны тока убы­

вают по длине линии. На основании (13.11), полагая ZB

= р, можно

написать для любого у:

 

 

 

 

 

j

_ Ùj +

роур/ßv

/ _

Üj — Up

p - a y p - / ß y

 

' п а д —

2p

'

0 T P —

 

2p

 

 

ИЛИ

 

 

 

 

 

 

 

 

/пад = 2p ^ 2

+ P +

І Х

^ > е в Ѵ Р > '

=

І р

-

Р + ^

е^'е-%.

464

Для квадратов модулей этих величин при у = I имеем

/ î n . « = ,J!5

+ P)2 + XI] e**',

/ï0 T P = ß> [ ( / ? 2 - P)2 + Xi] e"»1 .

Соответственно

для разности

мощностей (см. формулу

15.76)

получаем

 

 

 

 

 

 

 

Рі = ^іпад - Ріотр =

4}

+ P)2 + Xi] e2*' -

[(£2 - p)2 + XI] e-*"'}.

Ввиду малости a полагаем e ± 2 a ' «

1 ±

2a/ и, произведя простые

алгебраические

преобразования,

находим

 

Р і

= Лпад -

Яіатр = /

| / ? 2

+ / І ^ + ^ + ^ al.

(15.81)

Поскольку первое слагаемое правой части этого равенства яв­ ляется мощностью Ръ потребляемой в нагрузке, то

Сравнение этого выражения с (15.75) показывает, что мощность, рассеиваемая в проводах линии, равна

Р д = /?/ і + р 2 р

+ Х | al.

(15.82)

Практически возможны случаи,

когда необходимо

считаться

с реактивной частью волнового сопротивления. При этом Р Х не равна разности между мощностью падающей и отраженной волн, а должна

вычисляться по (15.73) с учетом мощности взаимодействия,

 

i

4. Согласованная линия

с

любыми

потерями.

Если

линия и

нагрузка согласованы, то Z2

= ZB , т. е. R 2 = R B ,

Х2 =

Х В .

Благо­

даря отсутствию

отраженной

волны / 1 о т р = 0, Р 1 в з = О,

Р Х ==_•

=

-Рщад = /іпад^в-

Как следует из (15.14), модуль

тока

падающей

волны в начале линии / 1 п а д =

Поэтому

 

 

 

 

 

Р1 = /а /?в е«в '.

 

 

(15.83)

Мощность, потребляемая в конце линии,

 

 

 

 

 

 

Pi=HRs.

 

 

(15.84)

 

§ 15.11. Коэффициент полезного действия

 

 

 

Коэффициентом

полезного

действия

(к. п. д.)

электрической

цепи называют отношение мощности Р 2 , потребляемой приемником, к полной мощности Р0, развиваемой генератором: т| = Р2/Р0. В данном случае Р 0 состоит из Р Ъ рассчитанной в § 15.10, и мощ­ ности РІ потерь во внутреннем сопротивлении генератора: Р 0 — = Р Х + P T . Расчет P T не представляет каких-либо затруднений.

Если желательно оценить с энергетической точки зрения линию без учета потерь внутри источника, то под к. п. д. линии понимают

465

отношение

ті = £ .

(15.85)

Для согласованной линии с любыми потерями, учитывая

(15.83)

и (15.84), имеем

 

 

 

 

т) = ^ = е - 2 а ' .

 

(15.86)

Для линии без потерь при любой нагрузке мощности

Рх

и

Р2

одинаковы, что вытекает из (15.75), так как Рл

— 0. Поэтому ц =

1.

Для линии с малыми потерями, полагая

ZB = р и

учитывая

(15.74) и (15.82), имеем

 

 

 

 

R2p

 

 

 

 

Это

выражение показывает, что наличие реактивной части на­

грузки

уменьшает

к. п. д.

Оптимальным

значением

реактивного

сопротивления Х 2 , при котором

к. п. д. приобретает

максимальное

значение, является

Х 2 о п т =

0.

Тогда

 

 

 

 

Л т а х =

, 1 » ,

,

(15.88)

где К — коэффициент бегущей или стоячей волны.

Представляет практический интерес определение оптимальной

величины К,

при

которой

г ) т а х становится

наиболее высоким. Не­

трудно убедиться

путем

дифференцирования равенства (15.88)

по К" в том,

что оптимальное значение / £ о п т

— 1, т. е.

 

 

•

# 2 О П Т = Р.

(15.89)

Таким образом, наиболее выгодным является активное нагру­ зочное сопротивление, равное волновому сопротивлению линии. В этом случае линия работает в режиме бегущих волн и величина наибольшего возможного к. п. д. равна

Ч т а х т а х = \+Ш

'

(15.90)

В литературе эта величина встречается в других записях:

Imax max ^ 1 2сСІ Яа; Q 2 а ,

справедливость которых очевидна ввиду малости а.

Итак, при условии, что волновое сопротивление линии с малыми потерями можно считать вещественным, к. п. д. этой линии оказы­ вается максимальным в режиме бегущих волн. Это объясняется от­

сутствием отраженной волны и связанных

с нею потерь мощности

в проводах, на что указывалось в конце

§ 14.6.

466

Если потери в линии таковы, что необходимо считаться с реак­ тивной частью волнового сопротивления, то режим бегущих волн

не является

оптимальным, так как не соответствует максимуму

к. п. д. Так,

например, в линиях электропередачи сильного тока

к. п. д. имеет максимум при больших нагрузочных сопротивлениях, превышающих модуль волнового сопротивления.

Предположим, что в линии с малыми потерями нельзя прене­ бречь реактивной частью волнового сопротивления, определяемого формулой (15.46):

Z . ~ P + / f * = * . + / * . . х =

^ - ^ .

05.91)

Тогда формула (15.69) принимает вид

 

 

^1=-Лпадр — /?отрР + Р *

(^ІпадЛотр)-

(15.92)

Дальнейшее вычисление Рх по (15.92) следует выполнять в по­ следовательности, указанной в п. 3 § 15.10. Для линии с малыми по­ терями, замкнутой на комплексное сопротивление, при учете ре­ активной части волнового сопротивления расчет приводит к сле­ дующим выражениям *:

 

у

_

 

2рХ Sin2 ßl

{]KQV\

 

Л 2 0 П Т - — 4 a / +

K s i n 2 ß / '

( I D . y j )

 

 

 

 

Ѵ4аЧ*-к*зт*

ß/

g 4

 

К а о п т - 4 >

4a/ +

xsin'2ß/ •

 

Л

Т А Х M A X

=

І+Ѵ4*Р-*ЩІІ'

 

( 1 5 ' 9 5 )

Сравнение формул (15.93)—(15.95) с выражениями,

получен­

ными при условии

ZB =

р,

показывает,

что:

 

а) оптимальное значение реактивной части замыкающего со­

противления не равно нулю;

 

 

 

 

б) оптимальное значение активной части замыкающего сопро­

тивления не равно

р;

 

 

 

 

 

 

в) наибольшее

возможное

значение к. п. д. может значительно

 

1

 

 

 

 

 

 

превышать величину ^ +

2а.і '

 

 

 

 

Поскольку

 

 

 

 

 

 

 

•Хгопт Ф- Хв —

~|~ И>

^ ? 2 о п т

Ф RB — Р>

 

то оптимальное замыкающее сопротивление не равно волновому сопротивлению линии, т. е. режим бегущих волн не является опти­ мальным с точки зрения к. п. д. Результаты расчетов при ZB = р

и ZB = p - f j—у, совпадают лишь в одном из следующих случаев:

При выводе учитывались лишь первые степени малых величин.

467

Источник: https://tut-files.ru/previewfile/125945

Смотрите также:

Анализ эффективности инвестиций предприятия на примере ООО «СпецПримСтрой»
Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»