Учебное пособие: Теория систем и системный анализ

в) параллельным выполнением работ критического пути.

г) параметром топологии сети, изменением состава работ и структуры сети.

Наиболее распространенным методом оптимизации сетевого графика в настоящее время является метод время - стоимость.

В зависимости от полноты решаемой задачи оптимизация может быть условно разделена на частичную и комплексную. Мы рассмотрим частичную оптимизацию, которая может быть следующего вида:

а) минимизация времени выполнения работ при заданной им стоимости;

б) минимизация стоимости комплекса работ при заданном выполнении выполнения проекта;

Для простоты ограничимся рассмотрением случая а). Будем предполагать, что уменьшение продолжительности работы пропорционально возрастанию его стоимости.

Пусть ,

где - нормальная продолжительность работ;

- минимально возможная (экстренная) продолжительность работы , которую только можно осуществлять в условиях разработки.

При этом стоимость работы

при нормальной при экстремальной

продолжительности продолжительности

работы работы

(5.27)

- показывает затраты на ускорение работы (по сравнению с нормальной продолжительностью) на ед. времени.

(5.28)

Самый очевидный вариант частной оптимизации сетевого графика с учетом стоимости предполагает использование резервов времени работ. При этом стоимость выполнения проекта, равная до оптимизации

уменьшается на величину

(5.29)

6. Некоторые принципы принятия решений в задачах системного анализа

6.1 Общие положения

В процессе принятия решений возникают следующие трудности:

а) большое число критериев не всегда согласованы между собой;

б) высока степень неопределенности, которая обусловлена недостаточной информацией для принятия решений.

Любой процесс принятия решений включает следующие элементы:

1. Цель. Необходимость принятия решений определяется целью или несколькими целями, которые должны быть достигнуты.

2. Лицо, принимающее решение, должно нести ответственность за последствия этих решений.

3. Альтернативные решения (различные варианты достижения целей).

4. Внешняя среда (совокупность всех внешних факторов, влияющих на исход решений).

5. Исходы решений.

6. Правила выбора решений (решающие правила).

Эти правила позволяют определить наиболее предпочтительные в смысле выбранного критерия решения.

Теория принятия решений использует различные процедуры, позволяющие формализовать предпочтения, т.е. выразить их в единственной количественной мере. Основой для таких процедур является теория полезности, разработанная Дж.фон Нейманом и О. Моргерштерном. Ее математическая основа - система аксиом, в которых утверждается, что существует некоторая мера ценности, позволяющая упорядочить результаты решений. Эта мера называется функцией полезности решений или полезностью.

В зависимости от условий внешней среды и степени информированности лица существует следующая классификация задач принятия решений:

а) в условиях определенности;

б) в условиях риска;

в) в условиях конфликтных ситуаций или противодействия (активного противника).

Остановимся на каждом из них поподробнее.

6.2 Принятие решений в условиях определенности

Основная трудность - наличие нескольких критериев, по которым следует сравнивать исходы.

а) пусть имеется совокупность критериев:

Найти решение, которое окажется наилучшим в смысле выбираемого критерия.

Если все критерии измеряются в одной шкале, то обобщенный критерий можно записать в виде взвешенной суммы этих критериев

(6.1)

где - вес соответствующего критерия.

В этом случае нужно найти .

Если же критерии измеряются в различных шкалах, то необходимо привести их к одной шкале. Для этого формируют критерий

(6.2)

где .

б) пусть критерии упорядочены в последовательности . Тогда задача отыскания оптимального решения может быть описана как

при ограничениях

.

6.3 Принятие решений в условиях риска

Эта задача возникает в том случае, когда с каждой принимаемой стратегией связано целое множество возможных результатов с известными вероятностями . Формально модель задачи такова.

Пусть - полезность результата при использовании решения .

Пусть заданы условные вероятности . Вводят ожидаемую полезность для каждой стратегии

(6.3)

где

Решающее правило для определения оптимальной стратегии записывается так

(6.4)

6.4 Принятие решений в условиях неопределенности

Одним из определяющих факторов в таких задачах является внешняя среда или природа, которая может находиться в одном из состояний , …, , которое неизвестно лицу, принимающему решение (наблюдатель).

Пусть по-прежнему , полезность результата при использовании стратегии . В зависимости от состояния среды результат достигается с вероятностью .

Кроме того, наблюдателю неизвестно распределение вероятностей . Относительно среды наблюдатель может высказывать определенные гипотезы. Его предположение о вероятном состоянии среды называется субъективными вероятностями . Если бы величина была известна наблюдателю, то мы бы имели задачу принятия решений в условиях риска. В этом случае решающее правило определяется следующим образом:

(6.5)

На самом деле состояние среды неизвестно и неизвестно также распределение вероятностей .

Как выбрать оптимальную стратегию при этом? Существует несколько критериев для выбора оптимальной стратегии.

а) Критерий Вальда (критерий осторожного наблюдателя). Этот критерий оптимизирует полезность в предположении, что среда находится в самом невыгодном для наблюдателя состоянии. При этом критерии решающее правило имеет вид:

(6.6)

где (6.7)

По критерию Вальда выбирают стратегию, которая дает гарантированный выигрыш при наихудшем состоянии среды.

б) Критерий Гурвица основан на следующих предположениях: среда может находиться в самом невыгодном состоянии с вероятностью и в самом выгодном - с вероятностью , где - коэффициент доверия. Тогда решающее правило записывается так:

(6.8)

Если , то получаем критерий Вальда.

Если , то приходим к решающему правилу вида

(6.9)

так называя стратегию «здорового оптимизма», который верит в удачу.

в) Критерий Лапласа. Если неизвестны состояния среды, то все состояния среды считают равновероятными.

В результате решающее правило определяется соотношением (6.8) при условии .

г) Критерий Сэвиджа (критерий минимизации сожалений).

«Сожаление» - это величина, равная изменению полезности результата при данном состоянии среды относительно наилучшего возможного состояния.

В этом случае критерий для выбора оптимальной стратегии имеет следующий вид:

(6.10)

где

Выбор критерия принятия решения является наиболее сложным и ответственным этапом в системном анализе. При этом не существует каких-либо общих рекомендаций или советов. Выбор критерия должен производить заказчик на самом высоком уровне и в максимальной степени согласовывать этот выбор с конкретной спецификой задачи, а также со своими целями.

В частности, если даже минимальный риск недопустим, то используют критерий Вальда. Если, наоборот, определенный риск вполне приемлем и заказчик готов вложить в некоторое предприятие столько средств, чтобы он потом не сожалел, что вложено мало, то выбирают критерий Сэвиджа.

7. Принятие решений в условиях конфликтных ситуаций или противодействия

7.1 Общие положения

В отличие от рассмотренных выше задач принятия решений, в которых внешняя среда (природа) предполагалась пассивной, конфликтные ситуации предполагают наличие, по крайней мере, двух противодействующих сторон, интересы которых противоположны. Эти задачи составляют проблематику теории игр.

Целью теории игр является выработка рекомендаций по рациональному образу действия участников многократного повторяющегося конфликта.

Нашла применение в экономике, в ходе военных действий, анализе надежности и т.п. Характерным примером является довольно распространенная ситуация, когда несколько фирм добиваются права у заказчика на получение выгодного заказа или конфликтуют из-за овладения новыми рынками сбыта.

Игра - это модель конфликтной ситуации. Ведется по определенным правилам, которые определяют возможные варианты действий участников игры, объем информации об этих действиях, а также результат игры.

Игроки - это стороны, участвующие в конфликте.

Выигрыш (проигрыш, платеж) - результат конфликта.

Игры бывают парные и множественные.

Ходом в теории игр называется выбор одного из предложенных правилами игры действий и его осуществление.

Сами действия называются стратегиями. Число стратегий каждого игрока конечно или бесконечно.

Игры бывают одноходовые и многоходовые. Ходы могут быть личные и случайные. Игры, которые содержат только случайные ходы, теорией игр не изучаются. Игры бывают также с полной информацией и неполной информацией.

7.2 Игра двух лиц с нулевой суммой

Методы теории игр наиболее развиты для конечной одноходовой игры двух лиц с нулевой суммой (т.е. сумма выигрышей игроков равна 0). Такие игры еще называют антагонистическими.

Пусть и - участники игры. Саму игру опишем с помощью так называемой платежной матрицы (матрицы игры) порядка . Строки этой матрицы - это чистые стратегии игрока , а столбцы - чистые стратегии игрока /

Предполагается, что каждому игроку известны все элементы платежной матрицы.

Элемент определяет результат игры, а именно выигрыш игрока при выборе игроками и стратегий и соответственно.

В этом случае достаточно исследовать только платежную матрицу игрока .

В данной игре игрок стремится выбрать такую строку матрицы, чтобы максимизировать свой выигрыш, а игрок - такой столбец матрицы, чтобы минимизировать свой проигрыш.

Рис. 7.1

Пример:

Игра полковника Блотто

Две армии ведут борьбу за два исходных пункта. Армия полковника Блотто (игрок А) состоит из 4-х формирований, армия противника (игрок В) - из 3-х. Правила игры: армия посылает больше формирований, занимает его и уничтожает посланные туда формирования противника. В случае равенства сил противник очков не получает. Общий выигрыш определяется как сумма выигрышей в 2-х пунктах. Платежная матрица представлена на рис. 7.2.

Рис. 7.2

Задачей теории игр является нахождение решения игры, т.е. определение для каждого игрока его оптимальной стратегии и цены игры.

Оптимальной называется стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш (или максимально возможный средний проигрыш) независимо от поведения противника.

Ценой игры называется выигрыш (проигрыш), соответствующий оптимальным стратегиям игроков.

В теории игр наилучшим принято считать поведение игроков, при котором каждый игрок предполагает, что его противник не глупее (принцип разумности).

Если игрок А выбрал стратегию i, то его выигрыш составит

Отсюда максимальный гарантированный выигрыш

.

Стратегия, соответствующая называется максиминной стратегией, а - нижней ценой игры или максимином.

Игрок В, рассуждая аналогично, может среди всех своих стратегий выбрать ту, которая обеспечит ему минимальный гарантированный проигрыш.

Стратегия, соответствующая называется минимаксной стратегией, а величина - верхней ценой игры или минимаксом.

Если игрок А будет придерживаться максиминной стратегии, то он получает выигрыш не меньше максиминного значения, т.е.

Если игрок В придерживается минимаксной стратегии, то его проигрыш будет не больше минимального значения, т.е.