Учебное пособие: Теория систем и системный анализ

В общем случае отношения между нижней и верхней ценой игры устанавливаются неравенством

Существуют игры, для которых . Элемент платежной матрицы, отвечающей этим стратегиям, называется Седловой точкой. Ей отвечает цена игры :

Если , то игра выгодна игроку А.

При игра выгодна игроку В.

Если , то игра выгодна обоим игрокам и называется безобидной или справедливой.

7.3 Игра 2-х лиц без седловой точки. Смешанные стратегии

Одна из возможностей расширения стратегий игроков - разнообразить способ выбора своей стратегии, например, «случайно».

Как мы уже отмечали, в отсутствии Седловой точки, игрок А, применяя свою максиминную стратегию, выиграет не менее , а игрок В, применяя свою минимаксную стратегию, проигрывает не более , где . Применение чистых стратегий в каждой партии такой игры не дает возможность игрокам увеличить выигрыш , чем уменьшить проигрыш . Для того, чтобы это было возможным необходимо применять не одну, а несколько чистых стратегий, чередуя их случайным образом с какими-то частотами. Такая стратегия получила название смешанной (ее элементами являются чистые стратегии).

Смешанная стратегия имеет смысл при условии, что игра состоит более чем из одной партии.

Обозначим смешанные стратегии игроков А и В через

и , где

- вероятность (частота) применения игроком А чистой стратегии , - вероятность (частота) принятия игроком В чистой стратегии .

Причем и .

Чистые стратегии игроков А и В, для которых вероятности и отличны от 0, называются активными.

Теорема (основная теорема теории игр) (теорема минимакса).

Любая конечная игра двух лиц с нулевой суммой имеет, по крайней мере, одно решение (т.е. пару оптимальных стратегий, в общем случае смешанных) и соответствующую цену.

Решение игры, не имеющей Седловой точки, может осуществляться различными методами. Рассмотрим наиболее важные из них.

7.3.1 Графическое решение игр вида (2Чn) и (mЧ2)

Этот метод применим только к играм, в которых хотя бы один игрок имеет только две стратегии.

Рассмотрим следующую игру (без Седловой точки)

Ожидаемые выигрыши игрока А, соответствующие чистым стратегиям игрока В, представлены в таблице

Отсюда видно, что ожидаемый выигрыш игрока А линейно зависит от . В соответствии с критерием минимакса игрок А должен выбирать так:

Пример:

Замечания: Стратегии, для которых есть доминирующие и дублирующие стратегии можно отбрасывать.

7.3.2 Решение игр “mЧn” симплекс-методом

Допустим, что все элементы платежной матрицы положительны. Этого можно добиться, добавив ко всем членам матрицы достаточно большое число М. Это приведет к увеличению цены игры на М, а оптимальное решение и не изменится.

Найдем сначала . На основе принципа целесообразности.

или

где

Очевидно:

Таким образом, решение игры свелось к следующей задаче

(1)

- это задача линейного программирования

Оптимальная стратегия игрока В находится аналогично. Она является решением задачи.

(2)

Нетрудно видеть, что задачи (1) и (2) - пара двойственных задач. Следовательно, .

8. Проблема оптимизации при принятии решения. Понятие об имитационном моделировании

Идея оптимальности является центральной идеей кибернетики. Понятие оптимальности вышло в практику проектирования и эксплуатации сложных технических систем, получило строгое и точное определение в математических теориях, широко используется в административной практике. Данное понятие сыграло важную роль в формировании системных представлений. Осознавая роль (ведущую) оптимизационного подхода при решении задач выбора, следует остановиться на ряде ограничений, которые необходимо осознавать при применении данного периода.

1. Оптимальное решение часто оказывается чувствительным к незначительным изменениям в условиях задачи. В связи с этим в теории оптимальности развивается такое направление исследований как исследование устойчивости решения, а также анализ результатов решения на чувствительность к изменению входных параметров, условий и предположений.

2. При решении задач оптимизации следует учитывать, что анализируемая система имеет взаимосвязи с другими системами, а зачастую она является подсистемой основной системы. Тогда задача сводится к задаче локальной оптимизации и необходимо увязывать критерии анализируемой системы с критериями другой системы, в частности, с глобальным критерием оптимизации основной системы.

3. При использовании оптимизационного подхода не следует отождествлять цели системы и критерии, с помощью которых решается задача выбора. Критерий и цели относятся друг к другу как модель и оригинал. Многие цели трудно или даже невозможно количественно описать. Количественный критерий является лишь приближением цели. Критерий характеризует цель лишь косвенно, иногда лучше, иногда хуже, но всегда приближенно.

4. В постановке задачи оптимизации наряду с критериями важную роль играют ограничения. Даже небольшие изменения ограничений существенно сказываются на результате решения.

При исследовании социотехнических систем, когда необходимо помимо чисто технических вопросов решать организационные и социальные проблемы ситуация значительно усложняется. Учет подобных вопросов не поддается полной формализации. Ввиду этого оптимизация в системных исследованиях не конечная цель, а промежуточный этап. Чем сложнее система, тем осторожнее следует относиться к ее оптимизации. При исследовании сложных систем неизбежно возникают проблемы, выходящие за пределы формальных математических постановок и задач. В ряде случаев, по мере необходимости обращаются к услугам экспертов, т.е. лиц, чьи суждения, опыт и интуиция могут помочь в решении проблемной ситуации.

Экономико-математические методы в определенной степени универсальны и используются для решения различных экономических задач. Однако не любая задача укладывается в рамки модели, для которой уже разработаны эффективные аналитические или численные методы решения. В этом случае пользуются другими, в частности, имитационными методами исследования систем.

Имитационное моделирование следует рассматривать как экспериментирование с моделью реальной системы, в частности, вычислительный эксперимент, проводимый с помощью математической модели путем изменения различных исходных предпосылок. Поскольку вручную такие эксперименты невозможны, имитационное моделирование получило развитие только с появлением ЭВМ. Существенную помощь в проведении вычислительного эксперимента призваны оказать разрабатываемые пакеты прикладных программ. Применение имитационного моделирования целесообразно в разных случаях. Например, если математическая модель системы слишком сложная и для нее не разработаны аналитические модели решения, либо методы решения настолько трудоемки, что имитационное моделирование дает более простой способ решения задачи. Имитационное моделирование служит для анализа поведения систем в условиях, определяемых экспериментатором.

9. Методы получения и обработки экспертной информации при подготовке и принятии решений

9.1 Общие положения

Получение объективной информации в организационных системах управления - важнейшее условие при подготовке и принятии решений. Поскольку основным источником информации в организационных системах являются люди, получение экспертных заключений, мнений и оценок составляет одну из главных задач в системных исследованиях. Эта задача сводится к извлечению объективного мнения из совокупности индивидуальных мнений экспертов.

В настоящее время разработаны научно-обоснованные методы сбора и обработки заключений экспертов при решении задач планирования и прогнозирования в системах организационного управления.

Общая идея привлечения экспертов для получения обоснованной информации в системном анализе состоит в следующем:

Эксперту предъявляют некоторую гипотезу , и он участвует в выборе характеризующих ее признаков . На основании этих признаков находят апостериорную вероятность данной гипотезы. принимают за меру правдоподобия гипотезы на основе принятой истинности признаков .

В частности, в простейшем случае признаки задаются в виде статистической выборки, для которой “m” объектов из “n” рассмотренных обладают некоторым свойством . Гипотеза приписывает это же свойство еще нерассмотренному объекту. Тогда апостериорная вероятность гипотезы на основании признаков определяется как .

В общем случае, когда признаки не имеют простой статистической формы, не может быть определена однозначно. Здесь определяют лишь интервал, в котором может находиться , а за апостериорную вероятность гипотезы принимают персональную вероятностную оценку эксперта.

Следовательно, процесс экспертизы можно представить так. Эксперту выдают гипотезу, вероятность которой нужно оценить, и относящуюся к этой гипотезе информацию, которая в совокупности с предполагаемыми знаниями эксперта являются признаками , характеризующими гипотезу. Затем эксперт дает свою персональную вероятностную оценку.

Требования к персональной вероятностной оценке:

а) относительная стабильность во времени при неизменности признаков;

б) новые признаки должны влиять на ее изменения в правильном направлении.

в) обобщение серии персональных вероятностных оценок при привлечении нескольких экспертов (группы).

Для обобщения серии персональных вероятных оценок используются следующие возможности:

- выбор эксперта-фаворита и учет только его оценки;

- вычисление медианы или среднего оценок отдельных экспертов;

- действие экспертов в единой группе, когда оценку выбирают в результате дискуссии.

9.2. Метод Дельфи

Был разработан в США для составления прогноза сроков поступления важнейших научно-технических открытий, начиная с 1975 г. и кончая 2000 г. Прогнозирование было основано на информации, полученной в результате многократной процедуры сбора и последующей обработки мнений экспертов.

Этот метод включает такие процедуры, как постановка серии вопросов с помощью анкет, проведение нескольких туров опросов, в процессе которых вопросы все более конкретизируются; ознакомление всех опрашиваемых экспертов с итогами после каждого тура опроса: переход к следующему туру и т.д.