Материал: Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Горбунов В.В., Соколова О.А
Воронежский государственный технический университет
В.В. Горбунов О.А. Соколова
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия
Воронеж 2005
УДК 519.2
Горбунов В.В., Соколова О.А. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие. Воронеж: Воронеж. гос. техн. ун-т, 2005. 86 с.
В учебном пособии излагаются элементы теории вероятностей и математической статистики. Теоретический материал иллюстрируется большим количеством примеров. Содержатся вопросы для самопроверки и задачи для самостоятельного решения.
Учебное пособие соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 151000 «Конструкторскотехнологическое обеспечение автоматизированных машиностроительных производств», специальности 151002 «Металлообрабатывающие станки и комплексы», дисциплине «Математика».
Учебное пособие подготовлено на магнитном носителе в текстовом редакторе Microsoft Word и содержится в файле ―ТеорВер1.doc‖.
Ил. 5. Библиогр.: 4 назв.
Научный реактор д-р физ.-мат.наук, проф. В.Д. Репников
Рецензенты: кафедра естественно-научных дисциплин Международного института компьютерных технологий (зав. кафедрой канд. техн. наук, доц. С.П. Попов);
д-р физ.-мат.наук, проф. Д.С. Cайко
Гобунов В.В., Соколова О.А., 2005 
ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2005
2
Введение
Современное машиностроительное производство предполагает наличие высокоразвитой системы технологического обеспечения. Компьютеризация конструкторскотехнологической подготовки требует наличие хорошей математической подготовки.
Данное пособие продолжает серию пособий по высшей математике и посвящено изучению элементов теории вероятностей и математической статистики.
Пособие имеет следующую структуру. В начале каждого параграфа приводятся соответствующие теоретические сведения (определения основных понятий, формулы, правила, признаки, методы). Затем следуют вопросы для самопроверки и примеры решения типовых задач различной степени трудности. Далее предлагаются задачи для самостоятельного решения. Ко всем задачам даны ответы.
Учебное пособие соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 657800 «Конструкторскотехнологическое обеспечение машиностроительных производств», специальности 120200 «Металлообрабатывающие станки и комплексы».
3
I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1.Случайные события
1.1.Предмет теории вероятностей
При проведении различных научно-технических исследований часто приходится встречаться с особого типа явлениями, которые принято называть случайными. Случайное явление – это явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному. Например, производится измерение усилия резания при точении некоторой детали на токарном станке при заданной скорости резания и подаче. Значение усилия резания будет случайным образом меняться под воздействием различных факторов: неоднородности структуры обрабатываемой детали, постоянно меняющегося микрорельефа режущей кромки, колебаний напряжения в сети и т.д.
В природе нет ни одного физического явления, в котором не присутствовали бы в той или иной мере элементы случайности. Как бы точно ни были фиксированы условия опыта, невозможно достигнуть того, чтобы при повторении опыта результаты полностью и в точности совпали. Случайные отклонения неизбежно сопутствуют любому закономерному явлению. В ряде практических задач этими случайными элементами можно пренебречь. Из множества факторов выделяются самые главные. Однако для решения ряда вопросов такая схема оказывается плохо приспособленной, так как второстепенные, случайные факторы играют заметную роль. Вместе с тем, число их так велико, а влияние столь сложно, что применение классических методов исследований не приводит к должному результату. Элемент неопределенности, сложности, многопричинности, присущий случайным явлениям, требует создания специальных методов для изучения этих явлений.
4
Такие методы и разрабатываются в теории вероятностей. Ее предметом являются специфические закономерности, наблюдаемые в случайных явлениях.
Теория вероятностей есть математическая наук, изучающая закономерности в случайных явлениях.
Предметом теории вероятностей является изучение ве-
роятностных закономерностей массовых случайных событий. Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать.
Практика показывает, что, наблюдая в совокупности массы однородных случайных явлений, в них обнаруживаются вполне определенные закономерности, свойственные именно массовым случайным явлениям. Например, при ограниченном числе выстрелов по мишени точки попадания распределяются
вполном беспорядке, но по мере увеличения числа выстрелов
врасположении точек попадания начинает наблюдаться некоторая закономерность, и эта закономерность проявляется тем отчетливее, чем большее количество выстрелов произведено. Расположение точек попадания оказывается приблизительно симметричным относительно некоторой центральной точки: в центральной области группы пробоин они гуще, чем по краям; при этом густота пробоин убывает по вполне определенному закону.
Подобные специфические, так называемые «статистические» закономерности наблюдаются всегда, когда присутствует масса однородных случайных явлений. Отдельные особенности случайных явлений в массе как бы взаимно погашаются, нивелируются, и средний результат массы случайных явлений оказывается практически уже не случайным. Методы теории вероятности приспособлены только для исследования массовых случайных явлений. Они не дают возможности предсказать исход отдельного случайного явления, но дают возможность предсказать средний исход массы аналогичных опытов,
5