Материал: Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Горбунов В.В., Соколова О.А

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

точность и надежность. Требуется знать, к каким ошибкам

~

может привести замена параметра а его точечной оценкой a и

с какой степенью уверенности можно ожидать, что эти ошибки не выйдут за известные пределы?

Такого рода задачи особенно актуальны при малом числе

~

наблюдений, когда точечная оценка a в значительной мере

~

случайна и приближенная замена а на a может привести к серьезным ошибкам.

Чтобы дать представление о точности и надежности

оценки ~ , в математической статистике пользуются так назы- a

ваемыми доверительными интервалами и доверительными вероятностями.

Пусть для параметра а получена из опыта несмещенная

~

 

оценка a . Необходимо оценить возможную при этом ошибку.

Назначим такую вероятность

( = 0,9; 0,95 или 0,99), с ко-

торой событие можно считать практически достоверным, и

найдем такое значение , для которого P

 

~

a

 

или

 

 

 

a

 

~

~

.

 

 

 

 

 

 

P a

a a

 

 

 

 

 

 

 

Тогда диапазон практически возможных значений ошиб-

ки, возникающей при замене а на

~

 

 

, а большие по

a , будет

величине ошибки будут появляться лишь с малой вероятно-

стью

1 , а неизвестное значение параметра а попадает в

интервал

 

 

 

 

 

I

~

~

.

 

a

; a

Величина рассматривается не как вероятность «попадания» точки в интервал I, а как вероятность того, что случайный интервал I накроет точку а (рис. 5).

76

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

а

~

а2

а

 

 

а1

a

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5

 

 

 

Вероятность

называют доверительной вероятностью,

а интервал I

- доверительным интервалом. Границы интер-

вала I : a1

~

и

~

называются доверительными

a

a2 a

границами.

Пусть произведено n независимых опытов над случайной величиной Х, характеристики которой – математическое ожидание m и дисперсия D – неизвестны. Для этих параметров получены оценки:

 

n

 

 

 

m

 

~

~

i 1

 

m

 

;

D

n

 

 

 

n

~ 2 xi m

i 1

 

.

 

 

 

n 1

Требуется построить доверительный интервал I, соот-

ветствующий доверительной вероятности

 

(заданной), для

математического ожидания m и дисперсии D величины Х.

~

~

распределены по

Исходим из того, что величины m и

D

нормальному закону. Характеристики этого закона – математическое ожидание и дисперсия – равны соответственно m и

 

D

. Предположим, что дисперсия D известна. Найдем такую

 

n

 

 

 

 

 

 

величину , для которой

 

 

 

 

P

 

~

 

.

 

 

 

 

 

 

 

m m

 

Используя формулу для вычисления вероятности задан-

77

ного отклонения, имеем

~

2Ф /

P m m

~ 2Ф t , m

где ~

m

D - среднее квадратическое отклонение оценки ~ , m

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

n /

 

D .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда

 

 

t D /

n , а, приняв во внимание, что веро-

ятность Р задана и равна

 

, то окончательно имеем

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P m t D / n m m t D / n 2Ф t

 

Таким образом, с вероятностью

 

 

 

(надежностью) можно

утверждать,

 

 

 

что

 

 

 

 

доверительный

интервал

I =

~

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

покрывает неизвестный па-

 

 

 

D /

 

 

 

D /

 

n

m t

 

n, m t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

раметр m; точность оценки

 

 

t

 

D /

 

 

n . Число t определяет-

ся из равенства 2Ф t

или Ф t

 

. По таблице функции

2

Лапласа находят аргумент t, которому соответствует значение функции Лапласа, равное 2 .

Предположим теперь, что дисперсия D неизвестна.

Тогда доверительный интервал для математического ожидания находится

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

~

~

 

 

~

~

 

 

= m t D / n, m t D / n ,

где величина t определяется из условия

78

t

P T t 2 Sn 1 t dt

0

и находится из таблицы для t.

Здесь Sn 1 t плотность закона распределения Стьюдента с n-1 степенями свободы

 

 

Г

n

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sn 1 t

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

,

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

1

 

 

 

 

n 1 Г

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где Г x- гамма –функция:

Г x u x 1e u du .

0

Доверительный интервал для дисперсии, накрывающий точку D с вероятностью , находится

 

~

 

~

 

I

D n 1

;

D n 1

,

2

2

 

 

 

 

1

 

2

 

где 2 распределение с r = n-1 степенями свободы.

79

Вопросы для самопроверки

1. Каковы основные задачи математической статистики?

2.Что называется выборкой? Повторные и бесповторные выборки.

3.Что называется статистическим распределением?

4.Что такое гистограмма частот?

5.Каковы числовые характеристики статистического распределения?

6.Что такое доверительный интервал? Как определить доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения?

80

Источник: https://studfile.net/preview/16568525/

Смотрите также:

8 класс Словосочетание
Алгоритмы и программы автоматизации инженерных расчетов
Анализ эффективности управления товарно-материальными запасами ООО 'Уралмрамор'
Лекция 4.Структура и основные компоненты экосистем
Основы теплолечения
Особенности жанра интервью на радио (на примере программы 'Своими глазами' на радиостанции 'Эхо Москвы'
Особенности формирования спроса на частные и общественные блага
Подготовка магистров педагогического образования к интегрированному обучению школьников математике и информатике
Постановление Пленума Верховного Суда РФ от 24_03_2016 N 7 (-1
Превращение энергии в организме человека