Материал: Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Горбунов В.В., Соколова О.А

конкретный исход каждого из которых остается неопределенным, случайным.

Чем большее количество однородных случайных явлений участвует в задаче, тем определеннее и отчетливее проявляются присущие им специфические законы, тем с большей уверенностью и точностью можно осуществлять научный прогноз.

В настоящее время нет почти ни одной естественной науки, в которой, так или иначе, не применялись бы вероятностные методы. Методы теории вероятностей широко применяются в современной электротехнике, радиотехнике, метеорологии, астрономии, теории автоматического регулирования, в теории надежности, массового обслуживания, стрельбы, во многих теоретических и прикладных науках.

1.2. Событие

Под «событием» в теории вероятностей понимается всякое явление, которое в результате опыта или испытания может произойти или не произойти. Под опытом или испытанием подразумевается вся совокупность условий, при которых событие может произойти или не произойти.

Наблюдаемые нами события можно подразделить на три вида: достоверные, невозможные, случайные.

Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий. Например, событие, состоящее в том, что при подбрасывании монеты выпадет либо орел, либо цифра, есть достоверное событие.

Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий. Например, событие «при подбрасывании монеты не произошло выпадение орла или цифры» заведомо не произойдет, т.е.

6

будет невозможным.

Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий может либо произойти, либо не произойти. Например, брошенная монета может упасть либо «орлом», либо «цифрой». Поэтому событие «при бросании монеты выпал «орел» - случайное. Каждое случайное событие есть следствие действия очень многих случайных причин (в нашем примере: сила, с которой брошена монета, форма монеты и многих других). Невозможно учесть влияние на результат всех этих причин, поскольку число их очень велико и законы их действия неизвестны. Поэтому теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет единичное событие или нет. В дальнейшем, вместо того чтобы говорить «совокупность условий осуществлена», будем говорить кратко: «произведено испытание». Таким образом, событие будет рассматриваться как результат испытания.

Пример 1. Из карточной колоды извлекается одна карта.. Извлечение карты из колоды есть испытание. Появление туза – случайное событие.

Введем некоторые вспомогательные понятия. Полной группой событий называется такая совокупность событий, что в результате испытания обязательно появится хотя бы одно событие из этой совокупности. Появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие.

Пример 2. Брошена монета. Выпадение орла и выпадение решки образуют полную группу событий. Появление либо орла, либо решки есть достоверное событие.

События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. В частности, если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий.

Пример 3. Из ящика с деталями наудачу извлечена деталь. Появление стандартной детали исключает появление бракованной

7

детали. События «появилась стандартная деталь» и «появилась бракованная деталь» - несовместные.

Пример 4. Приобретены два билета денежно-вещевой лотереи. Обязательно произойдет одно и только одно из следующих событий: выиграл только первый билет, выиграл только второй билет, выиграли оба билета, оба билета оказались без выигрыша. Эти события образуют полную группу попарно несовместных событий.

Пример 5. Стрелок произвел выстрел по цели. Обязательно произойдет одно из следующих двух событий: попадание, промах. Эти два несовместных события образуют полную группу.

События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Пример 6. Появление орла и появление цифры при бросании монеты - равновозможные события. Действительно, предполагается, что монета однородна, имеет правильную цилиндрическую форму.

Пример 7. Появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости - равновозможные события. Действительно, предполагается, что игральная кость изготовлена из однородного материала, имеет форму правильного многогранника, и наличие очков не оказывает влияния на выпадение любой грани.

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, то другое принято

обозначать A . Например, поломка станка в течение года и отсутствие поломки станка в течение годапротивоположные события.

8

1.3. Классическое определение вероятности

Классическое определение вероятности события основано на использовании понятия элементарного исхода. Пусть в урне содержится 6 одинаковых шаров: два красных, четыре синих, три белых. Возможность вынуть наудачу из урны красный или синий шар больше, чем возможность извлечь белый шар. Вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления события.

Дадим количественную оценку возможности того, что взятый наудачу шар цветной. Появление цветного шара будем рассматривать в качестве события А. Каждый из возможных результатов испытания, (испытание состоит в извлечении шара из урны) назовем элементарным исходом (элементарным событием).

Элементарные исходы обозначим через 1, 2 , 3 и т. д. В нашем примере возможны следующие 9 элементарных исходов: события 1 , 2 , 3 связаны с появлением белого шара; 4 , 5 - с появлением красного шара; 6 , 7 , 8 , 9 - с появлением синего ша-

ра. Эти элементарные исходы образуют полную группу попарно несовместных событий (обязательно появится только один шар) и являются равновозможными (шар вынимают наудачу, шары одинаковы и тщательно перемешаны).

Элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими эму событию элементарными исходами. В нашем примере благоприятствуют событию А (появлению цветного шара) следующие 5 исходов: 4 , 5 ,

6 , 7 , 8 , 9 .

Событие А наблюдается, если в испытании наступает любой из благоприятствующих элементарных исходов. Отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов к их общему числу называют вероятностью события А и обозначают Р ( А ) . В рассматриваемом примере всего элементарных исходов 9; из них 6 благоприятствуют событию А. Вероятность того, что взятый шар окажется цветным, равна

9

Р ( А ) = 6/9.

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных сходов, образующих полную группу. Вероятность бытия А определяется формулой

P( A) mn ,

где m - число элементарных исходов, благоприятствующих событию А; п - число всех возможных элементарных исходов испытания.

Из определения вероятности вытекают следующие ее свойст-

ва:

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию, следовательно,

P( A) m / n n / n 1 .

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна ну-

лю.

Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае m = 0, следовательно,

P(A) 0/ n 0.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. Вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

10