Материал: Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Горбунов В.В., Соколова О.А

0P A 1.

1.4.Основные формулы комбинаторики

Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов конечного множества. При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики. Приведем наиболее употребительные из них.

Перестановками называют соединения п различных элементов, отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок Рп равно

Рп=п!,

где n!= 12 3...n. Заметим, что 0! = 1.

Пример 8. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

Р е ш е н и е : Искомое число трехзначных чисел

Р3 = 3! = 12 3 = 6.

Размещениями из m элементов по n называют соединения п различных элементов, которые отличаются либо самими элементами, либо порядком расположения этих элементов. Число всех возможных размещений из m элементов по n равно

Пример 9. Сколько можно составить корабельных сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?

Р е ш е н и е : . Искомое число сигналов равно

Сочетаниями из m элементов по n называют соединения п

11

различных элементов, которые отличаются самими элементами. Число сочетаний из m элементов по n равно

Пример 10. Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?

Р е ш е н и е : Искомое число способов равно

C102=10!/(2!8!) = 45.

1.5. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты

Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний. Таким образом, относительная частота события А определяется формулой

W(A)=m/n,

где т — число появлений события, п — общее число испытаний.

Определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; определение же относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически.

Пример 11. Отдел технического контроля обнаружил 2 бракованные детали в партии из 50 случайно отобранных деталей. Относительная частота появления бракованных деталей

W (А) = 2/50=1/25.

Пример 12. По цели произвели 24 выстрела, причем было зарегистрировано 9 попаданий. Относительная частота пора-

12

жения цели

W (А) =9/24.

Наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости, колеблясь около некоторого постоянного числа. Оказалось, что это постоянное число есть вероятность появления события.

Таким образом, если опытным путем установлена относительная частота, то полученное число можно принять за приближенное значение вероятности.

Пример 13. По данным статистики, относительная частота рождения девочек за 1935 г. по месяцам характеризуется следующими числами: 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473.

Относительная частота колеблется около числа 0,482, которое можно принять в качестве приближенного значения вероятности рождения девочек.

1.6. Ограниченность классического определения вероятности. Статистическая вероятность

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно. На практике же весьма часто встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно. В таких случаях классическое определение неприменимо. Это обстоятельство является первым ограничением классического определения вероятности.

Во-вторых, очень часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Еще труднее указать основания, позволяющие считать элементарные события равновозможными. Обычно о равновозможности элементарных исходов испытания говорят из соображений

13

симметрии. Так, например, предполагают, что игральная кость имеет форму правильного многогранника (куба) и изготовлена из однородного материала. Однако задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются весьма редко. По этой причине наряду с классическим определением вероятности используют и другие определения, в частности статистическое определение: в качестве статистиче-

ской вероятности события принимают предел относительной частоты при n, стремящемся к бесконечности. Свойства ве-

роятности, вытекающие из классического определения, сохраняются и при статистическом определении вероятности.

1.7. Геометрические вероятности

Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.).

Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу поставлена точка. Это означает выполнение следующих предположений: поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка L, вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L. В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством

P Ll .

Пример 14. На отрезок ОА длины L числовой оси Ox наудачу поставлена точка B x . Найти вероятность того, что меньший из отрезков ОВ и ВА имеет длину, большую L3 . Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок

14

пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси.

Решение:. Разобьем отрезок ОА точками С и D на 3 равные части. Требование задачи будет выполнено, если точка

B x попадет на отрезок CD длины L3 . Искомая вероят-

ность

P L3 L 1 3 .

Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка. Это означает выполнение следующих предположений: брошенная точка может оказаться в любой точке фигуры G, вероятность попадания брошенной точки на фигуру g пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G, ни от формы g. В этих предположениях вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством

P Площадьg ПлощадьG .

Пример 15. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадает в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения относительно большого круга.

Решение:. Площадь кольца (фигуры g)

15