Материал: Теория

После приложения нагрузки отрезки изменяют свою длину и взаимный угол расположения. При этом

будут являться соответственно линейной и угловой деформацией в точке .

Раздел 2. Растяжение и сжатие.

Закон Гука при растяжении и сжатии справедлив лишь в определённых пределах нагружения и формулируется так: нормальное напряжение прямо пропорционально относительному удлинению или укорочению.

Математически закон Гука можно записать в виде равенства:

.

Коэффициент пропорциональности  характеризует жёст­кость материала, т. е. его способность сопротивляться упругим деформациям растяжения или сжатия, и называется модулем продольной упругости или модулем упругости первого рода.

Если в формулу закона Гука подставим выражения

то получим

Произведение , стоящее в знаменателе, называется жёсткостью сечения при растяжении и сжатии; оно характеризует одновременно физико-механические свойства ма­териала и геометрические размеры поперечного сечения бруса.

Для бруса, имеющего несколько участков, отличающихся материалом, размерами поперечного сечения, продольной силой, изменение длины всего бруса равно алгебраической сумме удлинений и укорочений отдельных участков:

Линейная деформация (деформация растяжения) – деформация, при которой происходит изменение только одного линейного размера тела.

Количественно она характеризуется абсолютным и относительным удлинением.

где – абсолютное удлинение; и  – конечная и начальная длина тела.

где – относительное удлинение тела; – абсолютное удлинение тела;  –начальная длина тела.

При продольном осевом нагружении (растяжении-сжатии) в поперечных сечениях бруса имеют место только нормальные напряжения .

Поэтому для обеспечения прочности стержней и стержневых систем достаточно выполнение условия:

 – коэффициент запаса прочности, устанавливаемый нормативными документами.

Раздел 3. Механические свойства конструкционных материалов.

Критерием оценки прочности элементов является условие, при котором напряжения, возникающие под действием внешних нагрузок не должны превышать допустимых значений.

В механике основными видами расчетов на прочность являются:

• проектировочный расчет (подбор размеров сечений);

• проверка на прочность;

• определение грузоподъёмности.

Прочностные расчеты выполняются в несколько этапов:

1. При необходимости определяются опорные реакции.

2. Рассчитываются внутренние силовые факторы и строятся их эпюры.

3. Определяются наиболее нагруженные участки либо сечения бруса.

4. В зависимости от условия задачи выполняется необходимый расчёт.

Раздел 4. Геометрические характеристики плоских сечений.

Моменты инерции сечений простой формы:

Если оси , параллельны центральным осям , , то справедливы следующие отношения:

Здесь и – координаты точки O (с учетом знаков), то есть нового начала координат в старой системе координат , .

Первые слагаемые в правых частях равенств являются собственными моментами инерции фигуры, а вторые слагаемые переносными моментами инерции.

При повороте осей (, ) на какой-либо угол по отношению к исходным осям моменты инерции изменяются:

Эти зависимости справедливы только для осей с общим началом координат. Положительный угол отсчитывается от оси в направлении кратчайшего поворота её до совмещения с осью .

Положение главных осей находится по формуле:

где – угол, на который нужно повернуть оси и , чтобы получить положение главных осей. При поворот оси до совмещения с главной осью производится против часовой стрелки

Методика определения положения главных осей и вычисления главных моментов инерции, радиусов инерции:

1. Любая сложная фигура разбивается на простейшие (прямоугольник, квадрат, треугольник, полуокружность, четверть окружности и так далее), геометрические характеристики которых известны.

2. Проводится произвольная система прямоугольных координат (вспомогательные оси), относительно которых положение центров тяжести любой простейшей фигуры является величиной известной.

3. По формулам определяется центр тяжести всей фигуры и проводятся центральные оси , , которые параллельны центральным осям простейших фигур.

4. Используя зависимость изменения моментов инерции при параллельном переносе осей, определяют моменты инерции и центробежный момент инерции всей фигуры относительно центральных осей.

5. По формуле вычисляют положение главных осей инерции (угол ).

6. Определяют по формулам главные моменты инерции.

7. По формулам вычисляют главные радиусы инерции.

Раздел 5. Сдвиг. Кручение.

Большинство соединений в машиностроении (резьбовые, сварные, заклёпочные, шпоночные и т. д.) работают на срез.

Выделим в окрестности точки , находящейся в плоскости среза, бесконечно малую площадку и рассмотрим её отдельно.

– величина абсолютного сдвига или абсолютное смещение грани;

– угол сдвига;

.

В пределах упругих деформаций величины углов будут незначительными, для них справедливо, что (в радианах).

Тогда , в таком виде величину можно рассматривать как относительную сдвиговую деформацию.

По диаграмме растяжения может быть построена диаграмма чистого сдвига материала.

Диаграмму смотри в разделе 3 (первый вопрос)

В точке происходит срез образца.

Точке по оси соответствует – предел пропорциональности по касательному напряжению.

Закон Гука в чистом виде:

,

– модуль сдвига, модуль упругости 2 рода (, для упругих материалов).

Для изотропных материалов (металлов):

,

где – модуль Юнга, – коэффициент Пуассона.

Следовательно,

,

следовательно

.

– это характерный габаритный размер плоскости, через которую проходит разрез.

– жёсткость сечения при сдвиге.

Построение эпюры крутящих моментов.

На участке АВ из условия равновесия левой части от сечения а-а получаем М_к=200 Нм;

В сечении b-b на участке ВС получаем М_к = 200-400 = -200 Нм;

В сечении с-с на участке СD М_к = 200-400-600 + 100z, 0 м.