Материал: Т.р. 1, Часть 1

3. Три стрелка стреляют один раз по цели. Вероятность попадания в цель при одном выстреле первым стрелком 0,75, вторым – 0,6, третьим – 0,8. Определить вероятность того, что а) цель будет поражена, б) цель будет поражена два раза.

4. Для участия в студенческих отборных соревнованиях выделено из первой группы 4 человека, из второй – 5 человек, из третьей 2 человека. Вероятности того, что студенты 1, 2, 3 групп попадут в сборную института, равны соответственно 0,9; 0,8; 0,7. Найти вероятность того, что наудачу выбранный студент попадет в сборную института.

5. К бензоколонке подъезжают грузовые и легковые автомашины в отношении 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая автомашина, равна 0,1, а легковая автомашина – 0,2. На бензоколонке заправлена машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.

6. Надежность элемента равна 0,8. Отобрано 10 однотипных элементов. Найти вероятности событий: а) из строя выйдет только 2 элемента; б) не менее двух элементов; в) не менее 2, но не более 4 элементов.

Найти наивероятнейшее число вышедших из строя элементов.

7. В предыдущей задаче отобрано для контроля 400 однотипных элементов. Найти вероятности событий: а) из строя выйдет 83 элемента; б) из строя выйдет не менее 83 , но не более 90 элементов.

Вариант 9

1. На рисунке представлена система из пяти независимо работающих элементов. Обозначим событие, состоящее в том, что элемент « » работает. Используя операции алгебры событий, выразить событие состоящее в том, что система из пяти элементов работает, через события . Найти надежность системы, если надежность каждого элемента равна 0,7.

2. Подбрасываются два симметричных игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма очков на верхних гранях а) равна 5, б) не превзойдет 5.

3. На 7 карточках написаны буквы К, К, О, О, О, Т, Т. Из них последовательно выбираются 3 карточки. Найти вероятность того, что получим слово «ТОК», если а) карточки в массив не возвращаем, б) карточки в массив возвращаются.

4. С первого автомата на сборку поступает 40% деталей, со второго – 35%. С третьего – 25%. Среди деталей первого автомата 0,2% бракованных, второго – 0,3%, с третьего – 0,5%. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь бракованная.

5. Расследуются причины неудачного запуска космической ракеты, о котором можно высказать 4 гипотезы: По данным статистики Обнаружено, что произошла утечка топлива (событие ). Согласно статистике условные вероятности события равны соответственно 0,9; 0; 0,2 и 0,3. Какая из гипотез наиболее вероятна при данных условиях.

6. Вероятность взять определенную высоту при одной попытке равна 0,6. Делается 4 попытки. Найти вероятность того, что высота взята

а) только один раз; б) хотя бы один раз; в) не менее одного раза, но не более 3 раз. Найти наивероятнейшее число успешных попыток.

7. 100 спортсменов на тренировке должны сделать по 4 попытки взять высоту. Вероятность успеха постоянна и равна 0,6. Найти вероятности событий: а) высота взята 243 раза; б) не менее 243, но не более 250 раз.

Вариант 10

1. На рисунке представлена система из пяти независимо работающих элементов. Обозначим событие, состоящее в том, что элемент « » работает. Используя операции алгебры событий, выразить событие состоящее в том, что система из пяти элементов работает, через события . Найти надежность системы, если надежность каждого элемента равна 0,7.

2. Из колоды карт в 52 листа наудачу последовательно извлекают 4 карты. Найти вероятность того, что а) эти карты разных мастей; б) это дама, король, туз, валет. Задачу решить в двух предположениях: 1) карты в колоду не возвращаются, 2) карты в колоду возвращаются.

3. На 8 карточках написаны буквы А, А, Р, Р, Р, К, Б, М. Последовательно извлекают 4 карточки. Найти вероятность того, что поучим слово «БРАК», если а) карточки в массив не возвращаются; б) карточки в массив возвращаются.

4. В пирамиде установлено 6 винтовок, из которых 4 с оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень из винтовки с оптическим прицелом, равна 0, 9, а из винтовки без оптического прицела – 0,6. Из наудачу взятой винтовки произведен выстрел. Найти вероятность поражения цели.

5. Для отборочных соревнований выделено 5 студентов группы №1, 4 студента группы №2 и 3 студента группы №3. Вероятность пройти в сборную института для студентов групп 1, 2, 3 равны соответственно 0,6; 0,7 и 0,8. Наудачу выбранный студент прошел отборочное соревнование. К какой группе вероятнее всего он принадлежал?

6. Вероятность того, что деталь, изготовленная на станке, стандартна, равна 0,7. Изготовлено 10 деталей. Найти вероятности того, что среди изготовленных деталей а) только 4 стандартные; б) стандартных деталей не менее четырех; в) стандартных деталей не менее 4, но не более 6.

Найти наивероятнейшее число доброкачественных деталей.

7. В предыдущей задаче изготовлено 700 деталей. Найти вероятности событий: а) стандартных деталей 493; б) не менее 493, но не более 500 деталей.

Вариант 11

1. На рисунке представлена система из пяти независимо работающих элементов. Обозначим событие, состоящее в том, что элемент « » работает. Используя операции алгебры событий, выразить событие состоящее в том, что система из пяти элементов работает, через события . Найти надежность системы, если надежность каждого элемента равна 0,7.

2. В группе 26 человек, из которых 5 отличников, в другой группе 24 человека, из которых 6 отличников. Выбирают по одному студенту из каждой группы. Найти вероятность того, что оба отличники.

3. В конверте 10 билетов по математике, 5 билетов по истории. Студент наудачу последовательно берет 2 билета. Найти вероятность того, что а) билеты по разным предметам, б) все билеты по математике. Задачу решите в двух предположениях: 1) билеты в конверт не возвращаются, 2) билеты в конверт возвращаются.

4. В цехе 20 станков, из них 10 марки , 6 марки и 4 марки . Вероятность продукции отличного качества для станков равны соответственно 0,7; 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что случайно взятая деталь стандартна.

5. Третья часть одной из трех партий деталей является второсортной, остальные детали во всех трех партиях являются первосортными. Из одной из партий наудачу взята деталь, которая оказалась первосортной. Найти вероятность того, что она взята из партии, имеющей второсортные детали.

6. Десять студентов имеют одинаковую подготовку по теории вероятности. Вероятность получить зачет для каждого из них равна 0,4. Найти вероятности того, что а) только 4 студента получат зачет по теории вероятностей; б) не менее 4 студентов получат зачет; в) не менее 4 студентов, но не более 6 получат зачет по теории вероятностей. Найти наивероятнейшее число студентов, получивших зачет по теории вероятностей.

7. На переэкзаменовку по теории вероятностей пришли 100 студентов. Вероятность сдать экзамен для каждого из них 0,4. Найти вероятности событий: а) сдали экзамен 44 студента: б) не менее 44, но не более 50 студентов.

Вариант 12

1. На рисунке представлена система из пяти независимо работающих элементов. Обозначим событие, состоящее в том, что элемент « » работает. Используя операции алгебры событий, выразить событие состоящее в том, что система из пяти элементов работает, через события . Найти надежность системы, если надежность каждого элемента равна 0,7.

2. В продукции завода 5% брака. Для контроля отобрано 4 детали. Найти вероятность того, что среди них а) хотя бы одна деталь бракованная, б) только две детали доброкачественные.

3. В конверте 10 билетов по математике 7 билетов по английскому языку. Студент наудачу последовательно берет 2 билета. Найти вероятность того, что а) билеты по разным предметам, б) все билеты по математике. Задачу решите в двух предположениях: 1) билеты в конверт не возвращаются, 2) билеты в конверт возвращаются.

4. В лаборатории имеется 6 клавишных автоматов и 4 полуавтомата. Вероятность того, что за время работы автомат не выйдет из строя, равна 0,95; для полуавтомата эта вероятность равна 0,8. Студент проводит расчет на произвольно взятой машине. Найти вероятность того, что до окончания работы машина не выйдет из строя.

5. В больницу поступает 40% больных с заболеванием , 35% – с заболеванием , 25% – с заболеванием . Вероятности излечения при каждом заболевании равны соответственно 0,7; 0,6; 0,9. Наудачу взятый больной после лечения выздоровел. Найти вероятность того, что был болен заболеванием .

6. Производится испытание на надежности 10 однотипных приборов. Вероятность выхода из строя одного прибора равна 0,1. Найти вероятности событий: а) из строя вышло только 4 прибора; б) из строя вышло не менее 4 приборов; в) из строя вышло не менее 4, но не более 6 приборов.

7. В предыдущей задаче на надежность испытываются 600 однотипных приборов. Найти вероятности событий: а) надежными оказались 543 прибора; б) не менее 543, но не более 550 приборов.