Материал: Т.р. 1, Часть 1

Вариант 13

1. На рисунке представлена система из пяти независимо работающих элементов. Обозначим событие, состоящее в том, что элемент « » работает. Используя операции алгебры событий, выразить событие состоящее в том, что система из пяти элементов работает, через события . Найти надежность системы, если надежность каждого элемента равна 0,7.

2. Среди 15 электрических лампочек 5 бракованных. Наудачу выбирают 5 лампочек. Найти вероятность того, что среди них будет не больше двух бракованных.

3. В мешочке 10 одинаковых кубиков с номерами от 1 до 10. Наудачу извлекают по одному 3 кубика. Найти вероятность того, что последовательно появятся кубики с номерами 1, 2, 3, если кубики извлекаются а) без возвращения; б) с возвращением.

4. В правом кармане 5 монет по 10 коп. и 10 монет по 5 коп., в левом кармане – 6 монет по 10 коп. и 8 монет по 5 коп. Из правого кармана в левый карман наудачу перекладывается одна монета, затем из левого кармана извлекаются 2 монеты. Найти вероятность того, что обе монеты по 5 копеек.

5. Попадание снаряда в любую точку самолета равновероятно. Крылья, фюзеляж, хвост и кабина составляют соответственно 50%, 30%, 15% и 5% площади самолета. Вероятность гибели самолета при попадании в крылья, фюзеляж, хвост и кабину равны соответственно 0,1; 0,05; 0,4; 0,5. В самолет попал один снаряд, и он был сбит. Найти вероятность того, что снаряд попал в кабину.

6. Спортсмен забрасывает мяч в корзину с вероятностью 0,6. Произведено 10 бросков. Найти вероятности того, что а) в корзину мяч попал только 4 раза; б) не менее 4 раз; в) не менее 4 раз, но не более 6 раз.

Найти наивероятнейшее число попаданий мяча в корзину.

7. На объекты независимо сбрасывают 200 бомб, вероятность поражения объекта для одной бомбы 0,2. Найти вероятности событий: а) объекты поражены 43 раза; б) не менее 43, но не более 49 раз.

Вариант 14

1. На рисунке представлена система из пяти независимо работающих элементов. Обозначим событие, состоящее в том, что элемент « » работает. Используя операции алгебры событий, выразить событие состоящее в том, что система из пяти элементов работает, через события . Найти надежность системы, если надежность каждого элемента равна 0,7.

2. В партии 20 деталей, среди которых 5 деталей со скрытыми дефектами. Извлекают наудачу 3 детали. Найти вероятность того, что среди них две доброкачественные, а одна со скрытым дефектом.

3. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятности попаданий при одном выстреле для первого стрелка – 0,7, для второго – 0,6. Каждый делает по два выстрела независимо друг от друга. Найти вероятность того, что а) мишень поражена хотя бы одним стрелком; б) мишень поражена два раза; в) в мишень попал один раз первый стрелок и один раз второй стрелок.

4. На позиции может случайно и равновероятно оказаться один из трех стрелков. Два из них вооружены винтовками с оптическим прицелом, один – без него. Вероятность поражения цели из винтовки с оптическим прицелом – 0,9, без оптического прицела – 0,5. Определить вероятность того, что при одном выстреле случайно оказавшимся стрелком цель будет поражена.

Вариант 15

1. На рисунке представлена система из пяти независимо работающих элементов. Обозначим событие, состоящее в том, что элемент « » работает. Используя операции алгебры событий, выразить событие состоящее в том, что система из пяти элементов работает, через события . Найти надежность системы, если надежность каждого элемента равна 0,7.

2. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков, выпавших на верхних гранях, равна 5, а произведение равно 4.

3. В урне имеются 6 шаров с номерами 1,2,3,4,5,6. Наудачу по одному извлекают 3 шара без возвращения. Найти вероятность того, что а) последовательно появятся шары с номерами 4,5,6; б) шары с указанными номерами появятся независимо от порядка их извлечения.

4. В ящик, содержащий 2 одинаковые детали, брошена 1 стандартная деталь. Затем из ящика извлекается одна деталь. Найти вероятность того, что она стандартна, если равно возможны предположения о первоначальном составе деталей в ящике.

5. Однотипные приборы выпускаются тремя заводами в количественном отношении 2:3:5. Вероятности брака для этих заводов соответственно 0,1; 0,2; 0,05. Наудачу выбранный прибор оказался бракованным. Найти вероятность того, что его изготовил первый завод.

6. В лыжных гонках участвуют 10 спортсменов одинаковой подготовки. Вероятность пройти трассу для каждого их них равна 0,7. Найти вероятности того, что трассу пройдут а) только 4 спортсмена; б) не менее 4 спортсменов; в) не менее 4, но не более 6 спортсменов. Найти наивероятнейшее число спортсменов, прошедших лыжную трассу.

7. В предыдущей задаче на старт вышли 150 одинаково подготовленных спортсменов. Найти вероятности событий: а) трассу прошли 110 спортсменов; б) не менее 110 спортсменов, но не более 115 спортсменов.

Вариант 16

1. На рисунке представлена система из пяти независимо работающих элементов. Обозначим событие, состоящее в том, что элемент « » работает. Используя операции алгебры событий, выразить событие состоящее в том, что система из пяти элементов работает, через события . Найти надежность системы, если надежность каждого элемента равна 0,7.

2. Партия автомашин содержит 12 машин марки и 15 машин марки . Из партии случайным образом отбирают 3 автомашины. Найти вероятность того, что среди них 2 машины марки .

3. Имеется 10 карточек с номерами 3,3,3,4,5,6,6,6,6,7. Последовательно извлекают 3 карточки. Найти вероятность того, что получено число 666, если карточки: а) не возвращаются; б) карточки возвращаются в массив.

4. Однотипные приборы изготовляются двумя заводами в отношении 2:3. Вероятность брака на первом заводе 0,1, на втором – 0,05. Куплен один прибор. Найти вероятность того, что он доброкачественный.

5. Вероятность того, что студент попадет к первому экзаменатору, равна 0,6, ко второму – 0,4. Вероятность того, что он получит «5» у первого преподавателя равна 0, 4, у второго – 0,3. Студент получил «5». Найти вероятность того, что он сдавал экзамен первому преподавателю.

6. Для работы прибора подключили 6 независимо работающих микросхем. Вероятность выхода из строя одной микросхемы равна 0,3. Найти вероятности того, что из 6 микросхем из строя выйдут а) только две микросхемы; б) не менее двух микросхем; в) не менее 2, но не более 4 микросхем. Найти наивероятнейшее число микросхем, вышедших из строя.

7. В предыдущей задаче подключено 700 микросхем для работы прибора. Найти вероятности событий: а) из строя вышли 214 микросхем; б) не менее 214. но не более 220 микросхем.

5. На вход устройства поступает помеха с вероятностью 0,3 и полезный сигнал с вероятностью 0,7. Устройство вырабатывает некоторый сигнал с вероятностью 0,1, если он принял сигнал помеху, и с вероятностью 0,7, если он принял полезный сигнал. Получен сигнал . Найти вероятность того, устройство принимало сигнал-помеху.

6. Агент застраховал на год 10 автомашин. Вероятность аварии (угона) для каждой машины в течение указанного срока равна 0,1. Найти вероятности того, что в течение указанного срока, а) будет выплачено компанией 3 страховки; б) не менее 3 страховок; в) не менее 3, но не более 4 страховок. Найти наивероятнейшее число выплаченных страховок.

7. В предыдущей задаче компания застраховала 300 автомашин. Найти вероятности событий: а) угнано 34 автомашины; б) угнано не менее 34, но не более 40 автомашин.

Вариант 17

1. На рисунке представлена система из пяти независимо работающих элементов. Обозначим событие, состоящее в том, что элемент « » работает. Используя операции алгебры событий, выразить событие состоящее в том, что система из пяти элементов работает, через события . Найти надежность системы, если надежность каждого элемента равна 0,7.

2. В группе 16 юношей и 6 девушек. Случайно составляется группа из 4 человек. Найти вероятность того, что в группе будет 2 девушки.

3. В корзине 26 теннисных мячей, из которых 10 новых. Некто последовательно берет 2 мяча. Найти вероятность того, что оба мяча новые, если а) мяч не возвращается в корзину; б) мяч возвращается в корзину.

4. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне – 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров взят один. Найти вероятность того, что он белый.

5. Пять экипажей, среди которых 3 с отличной боевой подготовкой, производят бомбометание. Вероятность попадания в объект для экипажей с отличной боевой подготовкой, равна 0,9, для остальных – 0,5. Сброшена одна бомба, и она попала в цель. Найти вероятность того, что сброшена экипажем без отличной подготовки.

6. Со спутника на Землю послано независимо друг от друга 10 сигналов. Вероятность того, что на Земле сигнал воспринимается правильно, равна 0,8. Найти вероятности того, что а) правильно приняты на Земле только 4 сигнала; б) не менее 4 сигналов; в) не менее 4, но не более 6 сигналов. Найти наивероятнейшее число правильно принятых сигналов.

7. В предыдущей задаче на Землю со спутника послано 400 сигналов. Найдите вероятности событий: а) воспринято правильно 324 сигнала;

б) воспринято правильно не менее 324, но не более 330 сигналов.

Вариант 18

1. На рисунке представлена система из пяти независимо работающих элементов. Обозначим событие, состоящее в том, что элемент « » работает. Используя операции алгебры событий, выразить событие состоящее в том, что система из пяти элементов работает, через события . Найти надежность системы, если надежность каждого элемента равна 0,7.

2. В классе 12 мальчиков и 10 девочек. Наудачу выбирают для дежурства 4 человек. Найти вероятность того, что среди дежурных 2 девочки.

3. Из колоды в 52 карты наудачу последовательно извлекаются 3 карты. Найти вероятность того, что это тройка, семерка и туз, если а) карты не возвращаются в колоду; б) карты возвращаются в колоду.

4. Партия транзисторов, среди которых 10% брака, поступила на проверку. Схема проверки такова: с вероятностью 0,95 признается бракованным транзистор, если в нем есть дефект, и с вероятностью 0,05 признается негодным исправный транзистор. Найти вероятность того, что наудачу взятый транзистор признан негодным.

5. В фирме проката 10 машин марки « » с вероятностью поломки в эксплуатации 0,1, и 20 машин марки « » с вероятностью поломки 0,2. Некто взял напрокат машину, и она сломалась. Из какой категории машин наиболее вероятно он взял машину?