Материал: Уравнения математической физики. Пашуева И.М., Ускова Н.Б

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

2. В концах всякого элемента дуги

MM

 

струны дей-

 

ствуют направленные по касательной упругие силы натяже-

ния (рис.

1) с одинаковыми абсолютными значениями

 

 

 

 

 

 

 

 

T M , t

 

 

и являющимися в действительно-

T M , t T0

сти константами, то есть

T0

перманентна при изменении x и

t.

 

 

 

 

 

 

 

3. Имеет место воздействие на струну непрерывно рас-

пределѐнных сторонних силы в направлениях, перпендику-

лярным оси Ox, с плотностью (нагрузкой)

p x, t

в рассчѐте

на единицу длины.

 

 

 

 

Удалим из струны бесконечно малый участок дуги

MM

 

 

с абсциссами его концов x и x dx. Вместо действия удалѐнных левой и правой частей струны будем рассматривать соответствующие силы натяжения. В этом случае участок ду-

ги MM

 

имеет смысл интерпрерировать как свободную мате-

 

риальную

точку, на которую воздействуют упругие

силы

T M , t

,

 

где

eu –

T M , t и сторонняя сила p x, t dx eu ,

орт оси Ou.

 

 

Обозначим через x линейную плотность

струны в

точке x.

Поскольку в равновесном положении масса элемен-

та равна x dx, то, в силу сохранения массы, участок дуги

MM обладает такой же массой. Пусть и – углы наклона к оси Ox касательных к профилю струны в момент времени t соответственно в точках M и M . Производя проекции

6

на ось

Ou

сил, действующих на участок дуги

MM ,

на осно-

вании закона Ньютона и допущения 2), будем иметь

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x dx

2

 

T sin T sin p x, t dx.

 

 

 

 

1

 

t

2

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На основании допущения 1) углы

 

и

 

 

бесконечно

 

малы; таким образом

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin tg u

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin tg

u

 

.

 

 

 

 

 

 

 

x

x dx

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для вычисления

2

 

 

 

будем рассматривать известную форму-

лу математического анализа

f x dx f x f x dx,

справедливую с точностью до бесконечно малых высших порядков. Отсюда имеем:

sin

 

u

 

2u

dx.

x

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя выражения

 

2

и 3 в 1 ,

 

 

u

 

 

 

u

 

 

x

2

 

 

 

 

 

2

 

 

p x, t

 

2

 

T

 

 

 

2

 

t

 

 

0

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

будем иметь

.

3

4

Таким образом, имеет место уравнение малых вынужденных поперечных колебаний струны.

7

Когда плотность является константой ( x – постоян-

ная величина) данное уравнение преобразуется к форме

в которой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

t

a

2

 

T

,

0

 

 

 

 

 

 

 

 

u

a

 

 

2

2

 

 

P

p

 

 

u

 

2

 

 

x

 

 

2

 

x, t

P x, t ,

5

 

– плотность силы в расчѐте на

единицу массы.

 

Когда нет сторонней силы

P x, t 0 ,

уравнение малых свободных колебаний струны:

имеет место

 

 

u

 

 

 

 

u

 

 

 

 

2

 

a

 

2

 

 

.

 

 

 

 

 

2

 

 

 

6

 

 

t

2

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнения вида

4

-

6

описывают не только колеба-

ния струны, но и ряд других физических процессов, которые называются волновыми. Таковыми, к примеру, являются следующие.

1. Продольные или крутильные колебания стержня постоянного поперечного сечения (рис. 2). В случае продольных колебаний u x, t – продольное отклонение в момент време-

ни t элемента стержня с координатой x от своего равновес-

ного положения, а

a

E

,

 

 

 

 

стержня, – плотность.

где

E

– модуль Юнга материала

8

Рис. 2. Продольные колебания стержня постоянного сечения

В случае крутильных колебаний

u x, t

– угол поворота

поперечного сечения стержня с координатой

x

в момент

времени

t,

а a

 

C

 

. В этой формуле

C – крутильная жѐст-

I

 

 

 

 

 

кость стержня, а I – момент инерции единицы длины стержня относительно его продольной оси. В случае стержня кругового сечения радиуса R их можно рассчитать по формулам

C G

R4

I

R4

 

;

.

 

 

2

 

 

2

сдвига материала.

Поэтому

a

G

,

 

 

 

где G – модуль

2.Плоские акустические (звуковые) волны в жидкостях

игазах (рис. 3). В этом процессе волновому уравнению под-

чиняются возмущения давления

p

и плотности

 

среды или

потенциал скорости. Для изэнтропических (адиабатических)

9

течений сред с уравнением состояния

p f

скорость

a

распространения

выражением

a

2

 

возмущений

 

dp

 

 

 

 

d

 

 

 

0

 

 

 

 

f

(скорость звука) определяется

 

.

В частности, если

0

 

 

 

 

 

p p

,

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

где

 

c

p

 

 

 

 

c

 

 

V

– показатель адиабаты газа, то

a

p

,

где

p0

и

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и плотности среды.

– невозмущѐнные значения давления

Рис. 3. Плоские акустические волны

3. Распространение электрических возмущений в линии

(рис. 4) при отсутствии потерь. При этом явлении

u x, t

есть напряжение или сила тока в момент времени t

на эле-

ментах проводов с координатой x. В случае, когда

L

и С

есть распределѐнные соответственно индуктивность

и

ѐм-

кость проводов в расчѐте на единицу длины,

a

1

.

LC

 

 

10

Источник: https://studfile.net/preview/16563675/

Смотрите также:

Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27