Документ: Уравнения математической физики. Пашуева И.М., Ускова Н.Б, страницы 106-110

3.6.Конечно-разностные уравнения. Понятие о сеточых методах численного интегрирования уравнений

вчастных производных

		2	u		2	u
Рассмотрим уравнение Лапласа	u 0 :		u			u		0.
Рассмотрим уравнение Лапласа	u 0 :	x		2	y		2	0.
		x			y

При численном интегрировании дифференциальное уравнение заменяется конечно-разностным уравнением.

Метод сеток заключается в том, что выбирают шаг h и строят сетку xi x0 ih, yi y0 jh, i, j 0, 1, 2, ... , покрыва-

ющую

u x, y .

G – область, в которой задана искомая функция Выделив граничные и внутренние узлы, заменяют

данное уравнение во внутренних точках конечно-разностным уравнением:

u

x

, y

j

u

x

, y

j

u

x , y

j

1

u

x ,

y

j 1

i 1

;

i

;

x

2h

y

2h

u

j

i 1

2u

i

u

i 1

j

2

u

x

, y

x ,

y

x

, y

;

x

2

h

2

j 1

u

i

j 1

2u

i

j

u

i

2

u

x , y

x ,

y

x , y

;

y

2

h

2

j

j 1

j

i 1

u

i 1

j

u

i

j 1

u

i

0,

u

x

, y

x

, y

x , y

4u

x , y

а в граничных точках значения функции

u x, y

находят из

дополнительного условия. Решив полученную систему, составляют таблицу значений искомой функции.

Вопросы для повторения

1. Начальные данные. Граничные данные. Краевые дан-

ные.

2. Краевая задача. Задача Коши для уравнений гиперболического и параболического классов. Краевая задача для уравнений эллиптического класса. Смешанная задача для уравнений гиперболического и параболического классов.

106

3.Корретно и некорректно поставленные по Адамару задачи математической физики.

4.Задача Коши для однородного уравнения свободных колебаний бесконечной струны. Метод Даламбера. Формула Даламбера.

5.Решение задачи Коши для неоднородного уравнения вынужденных колебаний бесконечной струны.

6.Решение начально-краевой задачи для уравнения колебаний в полуограниченной струне.

7.Краевые задачи для волнового уравнения. Первая, вторая и третья краевые задачи.

8.Метод Фурье разделения переменных. Собственные значения и собственные функции краевой задачи для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка. Задача Штурма – Лиувилля. Гармоники. Собственные частоты колебаний ограниченной струны. Узлы и пучности стоячей волны.

9.Решение методом Фурье краевой задачи для неоднородного волнового уравнения.

10.Общая первая краевая задача о вынужденных колебаниях струны с известными законами колебаний концов струны.

11.Коэффициент температуропроводности материала. Уравнения теплопроводности. Постановка краевых задач для уравнения теплопроводности.

12.Метод Фурье для однородного уравнения теплопроводности.

13.Решение неоднородного уравнения теплопроводности методом Фурье.

14.Общая первая краевая задача для уравнения теплопроводности.

15.Решение методом Фурье задачи Коши для уравнения теплопроводности бесконечного стержня. Формула Пуассона.

107

16.Решение задачи теплопроводности для полуограниченного стержня.

17.Задачи, приводящие к эллиптическим уравнениям. Уравнение Лапласа. Гармоническая функция. Уравнение Пуассона.

18.Первая краевая задача (задача Дирихле). Вторая краевая задача (задача Неймана). Третья краевая задача. Внутренняя и внешняя краевые задачи. Метод Фурье решения задачи Дирихле для круга. Интеграл Пуссона.

19.Конечно-разностные уравнения. Понятие о сеточных методах численного интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных.

Задачи на самоподготовку

u

2

1. Решить уравнение

t

2

x

2 при условиях u

t 0 x,

u

t 0

x.

t

2. Решить уравнение

u

2

a

2

t

2

x

2

при условиях u t 0 0,

u

cos x.

t

t 0

u

3. Определить вид

струны,

описываемой уравнением

u

2

t

2

x

2 , при t , если u

t 0

sin x,

t

t 0 cos x.

4. Вдоль бесконечной

струны распространяется

волна

x at . Приняв еѐ за начальное возбуждение струны при

t 0, определить вид струны для t 0.

5. Струна, зафиксированная на концах начальный момент приобрела вид u h x4

108

x

2x3

0

и

x .

x l,

в

Опре-

делить вид струны для каждого момента времени t		при усло-
вии, что начальные скорости отсутствуют.
6. Струна зафиксирована на концах	x 0	и	x l.

Начальные смещения точек струны нулевые, а начальная скорость определяется соотношением

x

l

2

l

h

u

cos

при x

,

t

t 0

h

2

l

h

0 при x

.

2

Найти форму струны для любого момента времени t.

7. Решить смешанную задачу для однородного волново-

го уравнения на сегменте
		u	2u		, x 0, 1 , t 0, ,
		tt		xx
u	t 0	0, u		t 0	x 1 x , u	x 0	u	x 1	0.
	t 0		t	t 0		x 0		x 1

8. Найти решение уравнения

щее начальным условиям

u		u
	2
t	x		,
		2

удовлетворяю-

				x	при 0	x l,
			1		при 0	x l,
				l
				l

u x, t		f x		x	при l x 0,
u x, t	t 0	f x	1+		при l x 0,
	t 0			l
				l
			0 при x l и x l.

9. Поперечным сечениям полуограниченного упругого стержня с упруго зафиксированным концом приданы начальные продольные отклонения

109

начальные

смещения

			x	при 0 x l,

		sin
u	t 0		l

		0 при l x ,

же скорости	u		0.	Определить продольные
	t	t 0

u x, t поперечных сечений стержня для t 0.

10. Найти концами x 0

колебания струны с жѐстко закреплѐнными и x l, возбуждѐнной начальным отклонени-

ем. Начальные скорости равны нулю.

11. Имеется тонкий однородный стержень длиной

l,

изолированный от сторонней среды,

которого описывается функцией

f

начальная температура

x	cx l x		.	Концы
	l	2

стержня фиксируютсяются при нулевой температуре. Найти температуру стержня при t 0.

12. Определить распределение температуры в стержне на отрезке 0 x l, боковая поверхность стержня теплоизо-

лирована, при условии, что температура на его концах нулевая, а начальная температура описывается некоторой зависи-

мостью f x .

13. Решить уравнение Лапласа внутри кольца 1 r 2 с краевыми данными u r 1 0, u r y.

14. Пусть имеется круг с радиусом a и центром в начале координат. Обозначим , – полярные, а x, y – де-

картовы координаты. Решить первую внутреннюю краевую задачу для уравнения Лапласа при условии, что задано гра-

ничное условие: u a A, где

A

– постоянная.

15. Пусть имеется круг с радиусом a и центром в нача-

ле координат. Обозначим ,	– полярные, а x, y – де-
110

Материал: Уравнения математической физики. Пашуева И.М., Ускова Н.Б

Смотрите также: