Материал: Уравнения математической физики. Пашуева И.М., Ускова Н.Б

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Рис. 4. Действие

 

 

 

 

 

электрических возмущений в линии

 

4. Плоские электромагнитные волны в непроводящих

средах (рис. 5). В этом случае

u x, t есть напряжѐнность со-

оответственно электрического

E или магнитного H по-

 

a

 

c

 

лей;

 

 

 

, в этой формуле

c – скорость света в вакууме,

 

 

 

 

и

– диэлектрическая и магнитная проницаемости среды

соответственно.

 

Рис. 5. Электромагнитные волны на плоскости

11

1.2. Уравнение диффузии

Исследуем трубку, в которой имеется вещество с постоянной концентрацией во всяком поперечном сечении и изменяющейся от сечения к сечению. Тогда известно, что имеет место диффузия вещества из мест с большей концентрацией в места с менее высокой концентрацией.

Математическая модель данного явления диффузии использует функцию c x, t , которая выражает концентрацию

в сечении x в момент времени t. Выведем уравнение для данной функции, для этого нам потребуется получить уравнение баланса массы вещества на отрезке x, x dx за про-

межуток времени dt.

Предположим, что c x, t растѐт с увеличением x. В

силу закону Нернста количество вещества, протекающщее за единицу времени через данное поперечное сечение, прямо пропорционально его площади S и градиенту концентрации, таким образом, за промежуток времени dt оно выражается формулой

вкоторой

Всилу

 

dQ S

с

dt,

 

x

 

 

 

есть коэффициент диффузии.

7

и приближѐнного равенства

7

f x dx

f x f x dx,

12

 

приходим к выводу, что количество вещества

dQ, сохранѐн-

ное данным промежутком

x, x dx за время

 

dt, равно

 

с

с

 

 

с

 

 

с

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

dQ S

x

t S

x

 

x

2

dx dt S

x

2

dxdt.

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С другой стороны, изменение концентрации за время

dt

 

 

 

 

 

с

с

dt,

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dQ Sdx с

с

dxdt.

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приравнивая выражения

8 и

9 , получим:

 

 

 

 

 

 

с

 

 

 

 

 

 

с

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

x

2

dxdt S

t

dxdt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

2

 

,

 

 

 

 

 

 

 

t

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

где

а

2

. Это и есть искомое уравнение диффузии.

 

1.3. Уравнение безвихревого течения жидкости

9

10

Для безвихревого течения жидкости найдѐтся скалярная функция U x, y, z , именуемая потенциалом скоростей, та-

кая, что вектор скорости имеет завимость от неѐ следующим образом:

13

v

 

 

U

, v

 

 

U

, v

 

 

U

.

x

x

y

y

z

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

Для безвихревого движения несжимаемой жидкости (то есть

жидкости, для которой еѐ плотность

в частице сохраняет-

ся), мы имеем уравнение неразрывности

 

 

v

 

 

v

y

 

v

 

 

0.

 

 

x

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

y

 

z

 

 

12

Подставляя в уравнение

12

 

значения скоростей, вычислен-

ные из уравнений 11 ,

будем иметь

 

U

 

U

 

U

 

2

 

 

2

 

 

 

2

 

 

x

2

 

y

2

 

 

z

2

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вопросы для повторения

1.Математическая физика. Дифференциальные уравнения в частных производных. Уравнения математической физики.

2.Натянутая струна, возмущение. Поперечные колебания струны. Смещение точки струны относительно оси абсцисс. Мгновенный профиль струны. Основные допущения. Бесконечно малый элемент дуги струны, силы натяжения, внешняя сила, орт оси ординат. Линейная плотность струны в точке. Касательные к профилю струны. Проекции сил на ось ординат. Вывод уравнения малых вынужденных поперечных колебаний струны. Случай постоянной плотности. Уравнение малых свободных колебаний струны. Волновые физические процессы.

3.Продольные или крутильные колебания стержня постоянного поперечного сечения. Продольное отклонение элемента стержня, модуль Юнга материала стержня, плотность. Угол поворота поперечного сечения стержня, крутильная

14

жѐсткость стержня, момент инерции единицы длины стержня относительно его продольной оси, модуль сдвига материала.

4.Плоские акустические (звуковые) волны в жидкостях и газах. Скорость распространения возмущений, показатель адиабаты газа, невозмущѐнные значения давления и плотности среды.

5.Распространение электрических возмущений в линии при отсутствии потерь. Распределѐнные индуктивность и ѐмкость проводов на единицу длины.

6.Плоские электромагнитные волны в непроводящих средах. Напряжѐнность полей, скорость света в вакууме, диэлектрическая и магнитная проницаемости среды.

7.Концентрация в сечении. Составление уравнения баланса массы вещества на отрезке. Закон Нернста, коэффициент диффузии. Уравнение диффузии.

8.Потенциал скоростей, вектор скорости. Уравнение неразрывности для безвихревого движения несжимаемой жидкости. Уравнение безвихревого движения жидкости.

15

Источник: https://studfile.net/preview/16563675/

Смотрите также:

Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27