Документ: Уравнения математической физики. Пашуева И.М., Ускова Н.Б, страницы 16-20

ГЛАВА 2. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

2.1. Классификация уравнений в частных производных второго порядка

Порядок уравнения в частных производных определяется порядком старшей производной, используемой в уравнении. В большинстве задач математической физике используются дифференциальные уравнения второго порядка. В слу-

чае двух независимых аргументов

x

и

y

данное дифферен-

циальное уравнение записывают в общем виде выражением
F	x, y, u, u	, u	, u	, u	, u	0.	13
	x	y	xx	xy	yy

В случае, когда дифференциальное уравнение линейно относительно старших производных, оно именуется квазили-

нейным уравнением и имеет форму
a u	2a u	a	u	F	x, y, u, u	, u	0,	14
11 xx	12 xy	22	yy	1	x	y

в которой a11,

a12

и

a22

– заданные функции независимых

аргументов.

Дифференциальное уравнение именуется линейным в случае, когда оно линейно как относительно функции, которую надо найти, так и относительно еѐ частных производных. Данное уравнение имеет форму

a u	2a u	a	u	b u	b u	cu f x, y 0.
11 xx	12 xy	22	yy	1 x	2 y

15

В случае, когда коэффициенты уравнения 15 не зави-

сят от аргументов

x

и

y,

уравнение 15 есть линейное

дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

	Уравнениям 14			и 15 отвечает квадратичная форма
a l2	2a lm a m2		и в соответствии с кривыми второго по-
11	12	22
				16

рядка представляется возможным получить классификацию типов уравнений в зависимости от знака дискриминанта.

Образуем три класса уравнений в виде

14

или

15 ,

именовав их уравнениями гиперболического типа, если в ка- кой-то точке M (или области G ) D 0, параболического ти-

па в случае, когда в точке M D 0, и эллиптического типа в

случае, когда в точке M	D 0.	При этом	2	a11a22	есть
			D a12
дискриминант уравнения.
Отнесение уравнения к заданному таким образом классу

отражает определѐнные объемлющие свойства его решений и даѐт возможность отобрать способы решения задач для данного уравнения.

В слуае, когда уравнения имеют переменные коэффициенты, возможна смена своего класса в разных точках. Для ил-

люстрации такого	уравнения смешанного типа приведѐм
уравнение Трикоми			0,	используемое в газовой ди-
	uxx	xuyy

намике. Поскольку дискриминант данного уравнения

D x,

то уравнение Трикоми относится к эллиптическому классу в

случае, когда x 0	и гиперболическому, когда			x 0.
В уравнении	14 представляется возможным сделать
подстановку независимых аргументов
x, y , x, y					16
с якобианом преобразования I x, y
		x	y	0,	дающим
				0,	дающим

		x	y

возможность обратного преобразования. Найдѐм производ-

ные функции u

по новым аргументам

и . В силу теоремы

о дифференцировании сложной функции получим:

u

u u

, u

u

,

x

y

u

xx

x

17

u

x

xx

x

xx

u

u u

u

2

x

xx

x

xx

u

2

2u u

2

u u ,

x

xx

u

xy

x

y

x

y

x

y

u

y

x

xy

y

x

xy

u

y

x

y

x

xy

y

x

y

x

xy

u

,

x

y

x

y

x

y

x

y

xy

u

yy

y

u

y

yy

y

yy

u

2

y

yy

y

yy

u

2u u

u u .

2

y

yy

Подставляя значения производных в уравнение

14 ,

полу-

чим

A u	2A u	A u			,, u, u , u		0.
11	12	22

В этом выражении

A
12

Поскольку

A	a			2a a								;
			2								2
11		11	x		12		x	y		22	y
a a										a					;
11	x	x	12		x y			y	x		22			y y
A	a			2a					a				.
			2								2
22		11	x		12		x	y		22	y			x, y		,
A		A A			a			a a			I			x, y		,
2							2					2
12			11	22		12			11	22

17

то при

применении изучаемого преобразования независимых аргументов не изменяется класс уравнения. Но функции x, y и

x, y представляется возможным взять с условием, чтобы

18

в новых аргументах часть коэффициентов сделалась нулевы-

ми, а уравнение

17

обрело самый простой вид, именуемый

канонической формой уравнения.

Для получения канонической формы используют общие интегралы дифференциального уравнения

a11 dy	2	2a12dxdy a22 dx	2	0,	18

именуемого характеристическим для уравнений 14 и 15 ,

а его общие интегралы

x, y C1

и

x,

y С2

–

характеристическими кривыми или характеристиками.

При этом уравнение

17 получит одну из трѐх канони-

ческих форм:

u

,, u, u , u

,

19

1

в которой

1 x,

y C1

и

2

x,

y C2

– общие инте-

гралы характеристического уравнения

18 , 1

,

для

2A

12

уравнений гиперболического класса;

u

,, u, u , u

,

A

2

20

22

здесь

x, y C

– общий интеграл характеристического

уравнения

18

и

x, y

– произвольно выбранная два-

жды

дифференцируемая

функция,

не

зависящая

от

x, y , для уравнений параболического класса;

u

,, u, u , u

,

A

3

21

11

здесь x,

y

и

x,

y

– действительная и мнимая

части кажого из двух общих интегралов характеристического уравнения 18 , для уравнений эллиптического класса.

19

Замечание.

выбраны как

В случае, когда новые

	x, y		x, y	;
1		2		;
1		2
	2

аргументы
	x, y	2
1		2
	2



и
x, y		,

то для уравнения гиперболического класса имеет место второй канонический вид

u	u		,, u, u , u .		22
		*
		1
Линейное уравнение			15	с постоянными коэффициен-

тами принадлежит к одному и тому же классу в каждой точке области G. Данному уравнению отвечает характеристическое

уравнение 18 тоже с постоянными коэффициентами. По-

этому характеристиками линейного уравнения с постоянными коэффициентами являются прямые y kx b, где

k	a		D	;
k	12			;
	12
		a
		11

D a	2	a a .

12		11	22

Используя представленные ранее преобразования аргу-

ментов, уравнение

15

гиперболического класса

D 0

преобразуется к одному из таких видов:

	u	b u b u		cu f , 0
		1	2
или
				cu f ,	0.
u u		b1u	b2u	cu f ,	0.
Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
параболического	D 0		и эллиптического		D 0	классов

преобазуются соответственно к каноническим видам:

	u	b u b u		cu f , 0;
		1	2
u	u	b u	b u	cu f , 0.
		1	2
Используя новую неизвестную функцию v , по
правилу u , e v , ,				в котором и – некоторые

константы, и подбирая значений этих констант, канонические

20

Материал: Уравнения математической физики. Пашуева И.М., Ускова Н.Б

Смотрите также: