Материал: Уравнения математической физики. Пашуева И.М., Ускова Н.Б

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

u						u
			a		2			;
			a	2				;
				2
	t				x		2
	t				x

	u			f	x , 0 x ;
	u	t	0	f	x , 0 x ;
		t	0	1
	u
	u			0, 0 t .
	x		x 0	0, 0 t .
	x		x 0

158

Эта ситуация соответствует случаю, когда левый конец стержня теплоизолирован.

Доопределим функцию f1 x			чѐтным образом относи-
тельно начала координат, введя новую функцию				F2 x :
f		x , если x 0,
	1
F2 x	f	x , если x	0.

	1

Записывая формулу Пуассона и совершая преобразования, аналогичные предыдущим, получим:

u x, t

x 2

4a2t

t 0

d .

159

Проверим, что эта функция удовлетворяет граничному усло-

вию. Найдѐм производную

x e

d .

Отсюда видно, что если

x 0,

то

x 0

Согласно форму-

159

граничное условие u

ле

x 0

0 будет выполняться, ес-

ли мгновенные точечные источники тепла одинаковых знаков

разместить симметрично относительно

Поэтому в силу чѐтности функции

f1 x

начала координат.

производная	u	в
	x

нуле всегда равна нулю.

Итак, решение начально-краевой задачи даѐтся форму-

лой 159 .

3.5. Уравнения эллиптического типа

Задачи, приводящие к эллиптическим уравнениям. Постановка краевых задач.

При изучении стационарных явлений разной физической направленности (колебания, теплопроводность, диффузия и др.), как правило, получают уравнения эллиптического класса. Самое известное уравнение данного класса – уравне-

ние Лапласа u 0.

Зависимость

именуется гармонической в области

при условии еѐ непрерывности в данной области одновременно со своими производными до второго порядка и выполнения для них уравнения Лапласа.

При исследовании свойств гармонических зависимостей получены разные математические способы, которые можно с успехом использовать и для уравнени гиперболического и параболического классов.

Рассмотрим стационарное тепловое поле. При изучении уравнений параболического типа получено, что для температуры нестационарного теплового поля справедливо дифференциальное уравнение теплопроводности

	k
ut a2 u a2		.

	c

При условии, что явление стационарно, устанавливается распределение температуры u x, y, z , постоянное во времени и, значит, для него выполняется уравнение Лапласа

u 0.

160

Если присутствуют источники тепла, то приходим к уравнению

		u f , f	F	,
		u f , f	k	,
			k
здесь	F	– плотность источников тепла,			k

теплопроводности. Неоднородное уравнение

161

– коэффициент

Лапласа

161

обычно именуют уравнением Пуассона.

Выделим объѐм

T ,

который ограничен некоторой по-

верхностью .	Задача стационарного распределения темпера-
туры u x, y, z	внутри данного объѐма T ставится так: опре-
делить зависимость u x, y, z , для которой внутри T выпол-

няется уравнение

					u f x, y, z			162
и граничное условие одного из трѐх типов:
	а)	u f1			на	(первая краевая задача),
	б)	u			f2 на	(вторая краевая задача),
	б)	n			f2 на	(вторая краевая задача),
		n
	в)	u	h		u f3 0 на (третья краевая задача),
	в)	n	h		u f3 0 на (третья краевая задача),
		n
здесь	f1	, f2 ,		f3	, h – известные зависимости,		u	– производ-
здесь	f1	, f2 ,		f3	, h – известные зависимости,		n	– производ-
							n

ная по внешней нормали к поверхности .

Замечание. Ясно, что стационарное распределение температуры устанавливается только тогда, когда суммарный поток тепла сквозь границу области нулевой. Таким образом,

для зависимости

необходимо выполнение ещѐ одного

условия: f2d 0.

Первую краевую задачу для уравнения Лапласа обычно именуют задачей Дирихле, а вторую краевую задачу – задачей

Неймана.
При условии, что находится решение в области		T0 ,
внутренней (или внешней) относительно поверхности	,	со-

ответственная задача называется внутренней (или внешней)

краевой задачей.

Задача Дирихле в круге.

Предположим, что имеется круг с радиусом R и центром, являющимся полюсом O полярной системы координат. Найдѐм зависимость u r, , которая является гармониче-

ской в круге и на его окружности для неѐ справедливо требо-

вание

u	r R	f ,
	r R

– известная зависимость, являю-

щаяся непрерывной на границе круга. Для неизвестной зависимости требуется выполнения в круге уравнения Лапласа

r	2 2u	r	u	2u	0.	163
	r2		r	2

Для нахождения решения данной задачи воспользуемся методом разделения переменных. Предположим, что решение уравнения, удовлетворяющее заданному граничному усло-

вию, находится в форме u Q r T t .

В этом случае имеем

r T

rQ r

T Q r T

Производим разделение аргументов:

r2Q

;

r rQ

Q r

Полагая обе части

последнего соотношения равными кон-

станте k

будем иметь пару обыкновенных дифференци-

альных уравнений:

k T

0, r Q

r rQ

r k Q r 0.

Следовательно, для

k 0 получим

T A B ,

164

C D ln r.

165

Если же

k 0,

то

166

Acos k B sin k ,

а решение

второго

уравнения будем определять в форме

Q r r

отсюда

имеем

m m 1 r

m 2

rmr

m 1

или	r		m		k				0,
	r	m	m	2	k			2	0,
		m		2				2
отсюда	m k.
Таким образом,
	Q r Cr	k	Dr			k	.
	Q r Cr		Dr				.

167


Замечание. Зависимость u r,			по аргументу явля-
ется периодической с периодом	2 ,		поскольку для одно-
значной функции величины u r, и		u r, 2 совпадают.
Следовательно, из соотношения 163		вытекает, что B 0, а в

соотношении

1, 2, ..., k 0 .

166

может принимать одно из значений

Далее, в соотношениях

165

167

необходимо вы-

полнение условия D 0, иначе зависимость будет терпеть

разрыв в точке	r
Таким образом,	мы

дифференциального

0 и не являться гармонической в круге. имеем бесконечное семейство решений

уравнения 163 , удовлетворяющих за-

данному граничному условию, непрерывных в круге, которые (несколько изменив обозначения) можно представить в форме

100

Источник: https://studfile.net/preview/16563675/

Смотрите также:




Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27