Материал: Уравнения математической физики. Пашуева И.М., Ускова Н.Б

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

;

r, A cos n B sin n r

n 1, 2, ... .

Рассмотрим теперь зависимость

u r,

A cos n B sin n r

n 1

являющуюся по причине линейности и однородности уравнения Лапласа тоже его решением. Теперь необходимо найти

коэффициенты

A0 ,

An , Bn

при условии выполнения для этой

зависимости требования

r R

f , то есть

n 1

f в

Таким образом, получено разложение зависимости

ряд Фурье в сегменте

, .

По формулам Эйлера-Фурье

определяем

f d ,

cos n d ,

sin n d .

Следовательно,

cos n

d .

n 1

Преобразуем это выражение. Обозначив

Rr , t,

запишем сумму двух слагаемых, стоящую в квадратных скобках, в форме

1			1
	n cos nt n cos nt			.
2			2
	n 1	n 0

		101

Рассмотрим ряд

cos nt i

sin nt.

n 1

n 0

ряд сходится при

и его сумма равна

1 cos t i sin t

1 eit

cos t i sin t

1 2 cos t 2

Следовательно,

Этот

			1		1 cos t				1					1		2
	n	cos nt	1		1 cos t				1					1			,
n 0	n
n 0			2	1	2 cos t 2				2					2 cos t 2
			2	1	2 cos t 2				2			2 1		2 cos t 2
или, возвратившись к прежним обозначениям, получим
		u r,		1	f				R	2	r		2
				1					R		r				2 d .
				2		R	2	2Rr cos				r			2 d .
				2		R		2Rr cos				r

Это и есть решение задачи Дирихле в круге. Интеграл в правой части данного соотношения именуется интегралом Пуас-

сона.

Пример 1. Определить стационарное распределение температуры на однородной тонкой круглой пластинке, имеющей радиус R, верхняя половина пластики имеет постоян-


o	, а нижняя – постоянную температуру
ную температуру 1	, а нижняя – постоянную температуру
Решение. При условии, что		, имеем	f

0o.1.

Распределение температуры определяется в виде интеграла:

u r,	1

	2	R	2

Предположим, что точка

R	2	r	2
	2		2
2Rr cos r				d .
			2
r; находится в верхней по-

ловине круге, при этом 0 ; следовательно, при-

нимает значения в интервале от до и данному промежутку длиной не принадлежат точки . Воспользуемся

102

универсальной тригонометрической заменой

лучим cos

1 t

2dt

. Следовательно,

1 t

ctg

R2 r2

R r

ctg

u r,

2 dt

arctg

R r

t 2

R r tg 2

arctg

R r

ctg

arctg

R r

ctg

arctg

R r

arctg

R r

2Rr sin

R r

по-

или

tg u

ля, то для

R	2	r	2
2Rr sin				. Поскольку правая часть меньше ну-
2Rr sin

при 0 справедливо двойное неравенство

12 u 1. При этом будем иметь решение

tg u	R	2	r	2

	2Rr sin

или

	1		R	2	r	2	0	.
u 1		arctg
			2Rr sin

В случае, когда

круге, при этом

точка

находится в нижней половине

,	следовательно, промежутку

изменения

принадлежит точка , однако

не принадлежит

гонометрическую

и имеется возможность осуществить три-

замену	ctg		t,	тогда получим
		2

cos	t	2	1
		2
	t	2	1
	t		1

ний аргумента

,	d	2dt		.	При этом для данных значе-
		1	t
			2

получим

103

u r,

2 dt

R r

ctg

arctg

R r

arctg

R r

ctg

R r

Осуществляя идентичные преобразования, определим

	1		R	2	r	2	2	.
u		arctg
			2Rr sin

Поскольку правая часть сейчас больше нуля (так как sin 0

) то 0 u	1	.
) то 0 u	2	.
	2
Пример 2. Решить задачу Дирихле для уравнения
Лапласа в круге.
		u 0, 0 r 2,
		u		19cos	3	.
		u	r 2	19cos		.
			r 2

Решение.

Решение задачи Дирихле ется через интеграл Пуассона

u r,		1		f

		2


В нашем случае	R 2,		f

для круга радиуса R								выража-
				R	2	r	2
					2		2
R	2	2Rr cos r						2	d .
R		2Rr cos r

19cos			3	.	Однако в этой задаче
19cos				.	Однако в этой задаче

граничное условие можно представить в виде суммы синусов и косинусов, и вычислять интеграл Пуассона не требуется, достаточно лишь приравнять коэффициенты при одинаковых функциях в формуле для частного решения задачи Дирихле. Общее решение задачи Дирихле:

	A
u r,			n	n
	0
				n	.
	2		A cos n B sin n r
		n 1

104

Преобразуем граничное условие по тригонометрическим формулам:

u		19 cos	3	19 cos	2	cos 19	1 cos 2	cos	19	cos cos 2 cos
u	r 2	19 cos		19 cos		cos 19	2	cos	2	cos cos 2 cos
	r 2

19		1		19	3		1
2	cos	2	cos cos 3		2	cos	2	cos 3
2		2		2	2		2
19	cos 3 .
4	cos 3 .
4

Подставим граничное условие в выражение для u

		A						57
		A			n	A cos n B sin n		57	cos
u		0		2	n
u	r 2			2
	r 2	2				n	n	4
		2	n 1					4
			n 1

57 cos

	r, :
	19	cos 3.
	4

Приравняем коэффициенты при одинаковых функциях в правой и левой частях равенства

cos

cos 3.

n 1

Заметим,

что

синусов

правой

части

вообще

нет, то

есть

0 n 1,

косинусы

есть

только

для

n 1

и n 3.

Получили,

что

2A 57

, A

;

все остальные коэффициенты равны ну-

2 A3

лю. Поставим эти коэффициенты в выражение для u r, :

r cos

cos 3

12r cos r

cos 3 .

u r,

12r cos r

cos 3

– это и

есть

искомое

решение.

105

Источник: https://studfile.net/preview/16563675/

Смотрите также:




Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27