9.5. Функциональные интегралы для фермионов |
539 |
|||||||
c, d, . . . |
a, b, . . . = 0 |
. . . (−iQd )(−iQc )PaPb . . . |
0 |
|||||
R0, åñëè {c, d, . . . } ¹ {a, b, . . . }, |
(9.5.13) |
|||||||
= S |
||||||||
T1, åñëè c = a, d = b, è ò. |
ä. , |
|||||||
где {...} означает набор индексов внутри скобок независимо от их порядка.
При выводе фейнмановских правил хотелось бы переписать суммы по промежуточным состояниям типа (9.5.7) как интегралы по собственным состояниям Qa èëè Pa. Однако такие операторы не могут иметь (отличные от нуля) собственные значения в обычном смысле. Допустим, мы пытаемся найти состояние |qñ, удовлетворяющее
(для всех а) уравнению
Qa |
q = qa |
q . |
(9.5.14) |
||
Из (9.5.2) следует, что
qaqb + qbqa = 0 , |
(9.5.15) |
что невозможно для обычных чисел. Однако ничто не может помешать нам ввести в рассмотрение алгебру «переменных» qa (их называют грассмановыми переменными), которые действуют как с-чис- ла, если речь идет о физическом гильбертовом пространстве, но которые все же удовлетворяют антикоммутационным соотношениям (9.5.15). Потребуем далее, чтобы
{q |
a |
, q′ |
} = {q , Q } = {q |
a |
, P } = 0 , |
(9.5.16) |
b |
a b |
b |
ãäå q è q′ обозначают любые два «значения» этих переменных. Теперь можно построить состояния |qñ, удовлетворяющие уравнению (9.5.14):
F |
I |
|||
q = expG |
-iå Paqa J |
0 , |
(9.5.17) |
|
H |
a |
K |
||
где экспонента определена как обычно своим разложением в ряд. (Чтобы проверить , что уравнение (9.5.14) удовлетворяется, воспользуйтесь тем, что все Paqa коммутируют друг с другом и имеют нулевой квадрат, так что
542 Глава 9. Методы функционального интегрирования
F |
I |
F |
I |
|||||||||||
= cN expG |
-iåqapa J |
= cN expG iåpaqa J , |
||||||||||||
q |
p |
(9.5.26) |
||||||||||||
H |
a |
K |
H a |
K |
||||||||||
ãäå cN — фаза, зависящая только от числа N операторов Qa: |
||||||||||||||
c |
N |
º 0 |
F |
∏ Q |
I F |
∏ P |
I |
0 |
= iN (-1)N(N-1)/2 . |
|||||
G |
a J G |
a J |
||||||||||||
H |
a |
K H |
a |
K |
||||||||||
Еще проще получается формула |
|||
p |
q = Õexp(-ipaqa ) . |
(9.5.27) |
|
a |
|||
Нетрудно видеть, что состояния |qñ (как и состояния |pñ) îáðà-
зуют в определенном смысле полный набор состояний. Из определений (9.5.17) следует, что состояние |a, b, ...ñ из общего базиса есть
(с точностью до фазы) коэффициент при произведении qaqb... в разложении состояния |qñ в сумму произведений грассмановских чисел q. Поэтому всякое состояние |fñ можно представить в виде
f = f0 q 0 + å fa q a + å fab q ab + . . . ,
aa¹b
где f — численные коэффициенты, а нижние индексы ab ... при символе |qñ обозначают коэффициенты при произведении qaqb... в разложении состояния |qñ.
При суммировании по состояниям очень удобно ввести определенный способ интегрирования по фермионным переменным, известный как интегрирование по Березину, 10 который позволяет находить коэффициенты при таких произведениях антикоммутирующих с-чисел. Для любого набора этих переменных xn (состоящего из величин p, q или и тех и других) самая общая функция f(x) может
быть представлена в виде
F |
I |
||
f(x) = G |
∏ xn J c |
||
H |
n |
K |
(9.5.28) |
+слагаемые, в которых множителей x меньше,
àинтеграл по переменным x определяется как
9.5. Функциональные интегралы для фермионов |
543 |
X F |
f |
I |
||
Y |
∏ dξn |
J |
f(ξ) ≡ c , |
(9.5.29) |
Y G |
||||
Z H |
n |
K |
где тильда в формуле (9.5.29) соответствует удобному соглашению, что дифференциалы записываются в порядке, противоположном порядку произведения переменных интегрирования в (9.5.28). Так как это произведение антисимметрично относительно перестановки любых двух ξ, то интеграл антисимметричен также относительно перестановки любых двух dξ, так что «дифференциалы» эффективно
антикоммутируют:
dξndξm + dξmdξn = 0 . |
(9.5.30) |
Кроме того, коэффициент с может зависеть от других с-чис- ловых переменных, по которым не проводится интегрирование, и которые антикоммутриуют с теми ξ, по которым мы интегрируем.
В этом случае важно стандартизовать определение с, переместив все ξ налево от с перед интегрированием по ним, как это и сделано
в формуле (9.5.28).
Например, самая общая функция от пары антикоммутирующих с-чисел ξ1 è ξ2 имеет вид
f(ξ1, ξ2 ) = ξ1ξ2c12 + ξ1c1 + ξ2c2 + d ,
поскольку квадраты и все более высокие степени ξ1 è ξ2 обращаются
в нуль. Интегралы от этой функции равны
z dξ1 f(ξ1, ξ2 ) = ξ2c12 + c1 , z dξ2 f(ξ1, ξ2 ) = −ξ1c12 + c2 , z dξ2dξ1 f(ξ1, ξ2 ) = c12 .
Заметим, что многократный интеграл совпадает с повторным:
z dξ2dξ1 f(ξ1, ξ2 ) = z dξ2 [z dξ1 f(ξ1, ξ2 )] .
Этот результат можно легко распространить на интегралы по любому числу фермионных переменных. (Именно для того, чтобы получить указанную формулу без дополнительных знаковых