432 |
Глава 7. Канонический формализм |
ãäå p10 ≡ p2 + m1 2 , a(p,s) è b†(p,s) − операторные коэффициенты, а u(p,± ) è v(p,± ) — два набора из двух независимых решений
уравнений
(iγ μpμ + m)u(p, σ) = 0 , |
(7.5.43) |
||||||||||
(−iγ μpμ + m)v(p, σ) = 0 , |
(7.5.44) |
||||||||||
соответственно, нормированных так, что * |
|||||||||||
(−iγ μpμ + m) |
|||||||||||
å u(p, σ)u(p, σ) = |
, |
(7 5.45) |
|||||||||
2p |
0 |
||||||||||
σ |
|||||||||||
(iγ μpμ + m) |
|||||||||||
åv(p, σ)v(p, σ) = − |
. |
(7.5.46) |
|||||||||
2p |
0 |
||||||||||
σ |
|||||||||||
Чтобы получить желаемые антикоммутаторы |
|||||||||||
[ψα (x, t), ψβ (y, t)]+ = [ψα (x, t), πγ (y, t)]+ (γ 0 )γβ |
|||||||||||
= i(γ 0 )αβ δ3 (x − y) , |
(7.5.47) |
||||||||||
[ψα (x, t), ψβ (y, t)]+ = 0 , |
(7.5.48) |
||||||||||
следует принять антикоммутационные соотношения |
|||||||||||
[a(p, σ), a† (p′, σ′)]+ = [b(p, σ), b† (p′, σ′)]+ |
= δ3 (p′ − p)δσ′σ , |
(7.5.49) |
|||||||||
[a(p, σ), a(p′, σ′)]+ = [b(p, σ), b(p′, σ′)]+ = |
|||||||||||
[a(p, σ), b(p′, σ′)]+ = [a(p, σ), b† (p′, σ′)]+ = 0 . (7.5.50)
* Матрица igμpμ имеет собственные значения ±m, òàê ÷òî å uu è å vv должны быть пропорциональными проекционным матрицам (-igμpμ + m)/2m è (igμpμ + m)/2m, соответственно. Коэффициент пропорцональности можно подоб-
рать с точностью до знака, включив его в определение u и v. Общий знак определяется условием, что Tr å uub = å u†u è Tr å vvb = å v†v положительны.
7.6. Связи и скобки Дирака |
433 |
и им сопряженные. Эти соотношения согласуются с результатами гл. 5, что подтверждает правильность выражения (7.5.37) как гамильтониана свободных частиц спина 1/2. Записанный через операторы a и b, гамильтониан имеет вид:
H0 = å z d3p p0 ca† (p, σ)a(p, σ) − b(p, σ)b† (p, σ)h . |
(7.5.51) |
σ |
Полученное выражение отличается от общепринятого гамильтониана свободных частиц на бесконечное с-числовое слагаемое *:
3 |
0 |
ca |
† |
(p, σ)a(p, σ) + b |
† |
(p, σ)b(p, σ) − δ |
3 |
′ |
− p)h . (7.5.52) |
||
H0 = å z d |
p p |
(p |
σ
Это с-числовое слагаемое в (7.5.52) важно только тогда, когда мы учитываем гравитационные явления. В противном случае, как и для скалярного поля, можно отбросить это слагаемое, поскольку оно влияет только на выбор начала отсчета энергии. После этого Н0 оказывается положительным оператором, как и для бозонов.
7.6. Связи и скобки Дирака
Главная проблема при выводе гамильтониана из лагранжиана заключается в появлении связей. Стандартный анализ этой проблемы принадлежит Дираку 5, и мы будем следовать его терминологии. Анализ Дирака реально не требуется для обсуждаемых в этой главе простых теорий, в которых нетрудно идентифицировать свободные от связей канонические переменные. Для иллюстрации мы будем использовать теорию действительного массивного поля, вернувшись к дираковскому подходу в следующей главе, где он окажется действительно полезным.
Первичные связи либо накладываются на систему (как например, в следующей главе, когда мы выберем калибровку электро-
* Заметим, что с-числовое слагаемое в данном случае имеет отрицательный знак. Гипотетическая симметрия, известная под названием суперсимметрии 4, связывает между собой числа бозонных и фермионных полей таким образом, что все с-числовые слагаемые в Н0 взаимно сокращаются.
434 |
Глава 7. Канонический формализм |
магнитного поля), либо возникают как следствие структуры самого лагранжиана. В качестве примера такого рода рассмотрим лагранжиан (7.5.11) массивного векторного поля Vμ, взаимодействующего с током Jμ:
L = − 1 F Fμν − 1 m2V Vμ |
− J |
μ |
Vμ |
, |
(7.6.1) |
|||
4 |
μν |
2 |
μ |
|||||
ãäå |
Fμν ≡ ∂μ Vν − ∂νVμ . |
|||||||
(7.6.2 ) |
||||||||
Допустим, мы пытаемся рассматривать все четыре компоненты Vμ
как равноправные. Тогда мы должны определить канонически сопряженные им импульсы
Πμ ≡ |
∂L |
= −F0μ . |
||||
(7.6.3) |
||||||
∂(∂ |
A |
μ |
) |
|||
0 |
||||||
Отсюда немедленно получаем первичную связь вида
Π0 = 0. |
(7.6.4) |
Вообще, мы сталкиваемся с первичными связями всякий раз, когда уравнения Πl = δLδ(∂0Ψl ) не могут быть разрешены относительно ∂0Ψl, т. е. не позволяют выразить все ∂0Ψl через Πl è Ψl
(по крайней мере, локально). Такая ситуация возникает тогда и только тогда, когда матрица δ2Lδ(∂0Ψl )δ(∂0Ψm ) будет имеет
нулевой детерминант. Подобные лагранжианы называются нерегулярными.
Затем могут существовать вторичные связи, возникающие из требования, совместности первичных связей с уравнениями движения. Для массивного вкторного поля такой связью является как раз уравнение Эйлера−Лагранжа (7.5.16) для V0:
∂ |
Π |
i |
= m2V0 |
+ J0 . |
(7.6.5) |
i |
В данном случае этим все заканчивается, однако в других теориях могут встретиться новые независимые связи, возникающие из требования совместности вторичных связей с полевыми уравнения-
436 Глава 7. Канонический формализм
включая тождество Якоби
[A, [B, C]P ]P + [B, [C, A]P ]P + [C, [A, B]P ]P = 0 . |
(7.6.10) |
Если можно было бы принять обычные коммутационные соотноше-
íèÿ |
[Ψa, Π ] = δa , [Ψa, Ψb] = [Π , Π ] = 0, то коммутатор любых |
|||
b |
b |
a |
b |
|
двух функций Ψ è Π был бы просто равен [A,B] = i[A,B]P. Однако |
||||
связи не всегда позволяют это сделать. |
||||
Связи |
в общем |
случае |
можно |
выразить в виде уравнений |
χN = 0, ãäå χN − набор функций от Ψ è Π. Поскольку мы включаем в
рассмотрение все связи, как первичные, так и вторичные, множество всех связей с необходимостью совместно с уравнениями дви-
жения |
& |
|
A = [A, H]P . Поэтому, при условии, что все |
||
[χN , H]P = 0 , |
(7.6.11) |
уравнения связи χN = 0 удовлетворяются *. Некоторая связь **
называется связью первого рода, если ее скобка Пуассона со всеми остальными связями обращается в нуль на поверхности связей (после вычисления скобок Пуассона). Мы столкнемся в следующей главе с простым примером такой связи при квантовании электромагнтитного поля, где связь первого рода возникает из симметрии действия — электромагнитной калибровочной инвариантности. На самом деле, множество связей первого рода cN = 0 всегда связано с группой преобразований симметрии для произвольной величины А. Бесконечно малое преобразование из этой группы имеет вид
*В современной терминологии для последнего условия используется также,
âчастности, автором, термин «при наложении связей». Но наиболее
употребителен термин «на поверхности связей». Имеется в виду, что уравнения
связи χN = 0 определяют в фазовом пространстве (Ψa,Πa) некоторую поверхность.
Ниже будет использоваться именно этот последний термин. Кроме того, гамильтониан Н содержит дополнительные вспомогательные поля — лагранжевы
множители к связям. Уравнения (7.6.11) могут определить некоторые из них
как функции Ψa, Πa. — Ïðèì. ðåä.
** Согласно современной терминологии любая функция χN из набора, определяющего поверхность связей χN = 0, называется функцией связи, или
коротко связью. Поэтому под связью в зависимости от контекста понимается
как уравнение связи χN = 0, так и сама функция связи χN. В данном контексте
термин связь понимается во втором смысле, как функция связи. — Прим. ред.