Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

(В теории поля такие преобразования локальны, поскольку индекс N включает пространственно-временную координату.) Из формулы (7.6.11) следует, что такое преобразование оставляет гамильтониан инвариантным **; инвариантной остается также поверхность связей. Теорию со связями первого рода можно рассматривать либо с помощью выбора калибровки, либо калибровочно-инвариантными методами, описанными в т. II.

Связи cN, дополнительные к связям первого рода, обладают

тем свойством, что никакая нетривиальная линейная комбинация åN uN [cN, cM ]P скобок Пуассона этих связей друг с другом не

обращается в нуль. Это означает, что матрица скобок Пуассона оставшихся связей неособенная,

Такие связи называются связями второго рода. Заметим, что число связей второго рода всегда должно быть четным, поскольку антисимметричная матрица нечетной размерности по необходимости имеет детерминант, равный нулю.

Как мы видели, в случае массивного действительного векторного поля связи имеют вид

Скобка Пуассона этих связей равна

* Преобразования (7.6.12) сопровождаются также определенными преобразованиями лагранжевых множителей. — Прим. ред.

** На поверхности связей. — Прим. ред.

438 Глава 7. Канонический формализм

Эта «матрица» очевидно неособенная, так что связи (7.6.15) относятся ко второму роду.

Согласно Дираку, в случае, когда все связи являются связями второго рода, коммутационные соотношения имеют вид:

ãäå [A, B]D − обобщение скобки Пуассона, известное как скобка

Дирака:

(Здесь N и M — составные индексы, включающие пространственную координату *, и принимающие в нашем примере векторного поля значения типа 1,x и 2,x.) Дирак заметил, что дираковская скобка, как и скобка Пуассона, удовлетворяет тем же алгебраиче- ским соотношениям, что и коммутаторы:

* Автор употребляет здесь термин compaund indices — составные индексы, а ниже в Приложении общий термин compact notation — компактные обозначения. В современной литературе более употребителен общий термин condensed notation — конденсированные (сжатые) обозначения. — Прим. ред.

благодаря которым коммутационные соотношения становятся совместными со связями χN = 0. Кроме того, скобки Дирака не изменяются, если заменить χN любыми другими функциями χ′N, для которых уравнения χ′N = 0 è χN = 0 определяют одну и ту же

поверхность связей в фазовом пространстве. Однако все эти приятные свойства не доказывают, что коммутаторы действительно следует задавать формулой (7.6.19), куда входят скобки Дирака.

Вопрос был, если и не разрешен до конца, то прояснен с помощью мощной теоремы, доказанной Маскавой и Накаямой 6. Они показали, что для любого набора канонических переменных Ψa, Πa, подчиняющихся связям второго рода, всегда можно

с помощью некоторого канонического преобразования * построить два набора переменных Qn, Qr и соответствующих им каноничес-

ких импульсов Pn, Pr, так что уравнения связей будут иметь вид Q r = Pr = 0. Используя эти координаты для вычисления скобок Пуассона и переопределяя функции связей, так что χ1r = Q r, χ2r = Pr, получим

а для любых функций А, В

* Напомним, что каноническим мы называем преобразование от одного

вычисляются по Ψa è Πa. Отсюда следует, что скобки Пуассона любых функ-

гамильтонианом **. При каноническом преобразовании лагранжиан изменяется, но только на полную производную по времени, что не меняет величи- ны действия.

** Конечно, в новых переменных гамильтониан, являющийся скалярной функцией, имеет другой вид. — Прим. ред.

440 Глава 7. Канонический формализм

Выписанная С-матрица имеет обратную матрицу С-1 = −Ñ,

так что скобки Дирака (7.6.20) имеют вид:

[A, B]D = [A, B]P + [A, χ1r ]P [χ2r , B]P − [A, χ2r ]P [χ1r , B]P

Иными словами, дираковская скобка равна скобке Пуассона, вычисленной с помощью редуцированного набора независимых канониче- ских переменных Qn, Pn.

Если предположить, что эти независимые переменные удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям, то коммутаторы произвольных операторов А, В выражаются через скобки Дирака формулой (7.6.19) *.

Вернемся к массивному векторному полю, чтобы показать, как его можно проквантовать с помощью скобок Дирака. В этом случае легко выразить зависимые переменные V0 è Π0 через независимые переменные Vi è Πi **: имеем просто Π0 = 0, à V0 задается

формулой (7.6.5). Из (7.6.15) и (7.6.17) следует, что CNM имеет в данном случае обратную матрицу вида:

* Все еще открытым остается вопрос, можно ли принять канонические коммутационные соотношения для независимых переменных Qn, Pn, построенных с помощью канонического преобразования Маскавы−Накаямы. В ко-

нечном счете, проверкой таких коммутационных соотношений будет их совместимость с выведенными в гл. 5 коммутационными соотношениями для свободных полей, но чтобы воспользоваться этим тестом, нужно знать, чему равны Qn è Pn. В Приложении к этой главе мы описываем два больших класса теорий, в которых можно установить набор таких независимых величин Qn è Pn, что дираковские коммутационные соотношения (7.6.19) будут следовать из обычных канонических коммутационных соотношений для Qn è Pn. Мы покажем также, что в этих случаях гамильтониан, определенный через независимые переменные Q и P, может быть с тем же успехом записана и через все переменные Ψ è Π.

** Это частный случай теорий, обсуждаемых в части А Приложения к этой главе.

Поэтому предписание Дирака (7.6.19), (7.6.20) приводит к одновременным коммутаторам следующего вида:

[A, B] = i[A, B]P

+ im−2 z d3zc[A, Π0 (z)]P [∂iΠi (z) − m2V0 (z) − J0 (z), B]P − A ↔ Bh .

[Πμ (x), Πν (y)] = 0 .

Это в точности те коммутационные соотношения, которые мы получили бы, предположив, что независимые переменные удовлетворяют обычным каноническим коммутационным соотношениям

[V i (x), Πj (y)] = iδijδ3 (x − y) , [V i (x), V j (y)] = [Πi (x), Πj (y)] = 0 ,

и использовав связи для вычисления коммутаторов, содержащих

Π0 è V0.