Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

7.7. Переопределения полей и несущественные константы взаимодействия *

В любое действие входят некоторые параметры взаимодействия, от которых не зависят наблюдаемые, например, массы или матричные элементы S-матрицы. Эти параметры называют несущественными **. Такое имя они получили потому, что изменение этих параметров можно устранить простым переопределением полевых переменных.

Непрерывное переопределение полей, например, бесконечно малое локальное преобразование Ψl(x) → Ψl(x)+ εFl(Ψ(x),∂μΨ(x),...),

очевидно не может влиять на любую наблюдаемую в теории ***,

хотя, конечно, может изменить значения матричных элементов самих полей.

Как узнать, может ли какое-то изменение параметров теории быть скомпенсировано переопределением полей? Непрерывное локальное переопределение поля приводит к изменению действия вида

Поэтому любое изменение δgi параметров взаимодействия gi, äëÿ

которого изменение действия имеет вид:

*Этот раздел лежит несколько в стороне от основной линии изложения

èможет быть опущен при первом чтении.

**Автор употребляет здесь английский термин redundant, дословно —

излишний. — Прим. пер.

***Например, теорема из раздела 10.2 показывает, что до тех пор, пока мы умножаем на правильные константы перенормировки полей, элементы S-матрицы могут быть получены из среднего по вакууму от хронологически упорядоченного произведения любых операторов, имеющих неисчезающие матричные элементы между вакуумом и одночастичными состояниями уча- ствующих в реакции частиц.

может быть скомпенсировано переопределением полей

Ψl (x) → Ψl (x) + εFl (Ψ(x), ∂Ψ(x), . . . ) ,

и, таким образом, не влияет ни на какую наблюдаемую. Иными словами, параметр взаимодействия является несущественным, если при вариации этого параметра изменение действия обращается в нуль на уравнениях движения * δI/δΨl = 0.

Например, предположим, что лагранжиан теории скалярного поля имеет вид:

L = − 21 Z(∂μΦ∂μΦ + m2Φ2 ) − 241 gZ2Φ4 .

Константа Z является лишней, поскольку

и это выражение обращается в нуль на уравнениях движения

9Φ − m2Φ = 61 gZΦ3 .

С другой стороны, ни голая масса m, ни голая константа связи g не являются несущественными, как и любая функция m и g.

В этом примере переопределение поля, требуемое для компенсации изменения Z, является простым изменением масштаба, когда F просто пропорционально Φ. (По этой причине Z называют

константой перенормировки поля.) Это самое общее преобразование поля, оставляющее инвариантным общую форму такого действия. Однако для рассматриваемых в разделах 12.3 и 12.4 действий более общего вида, содержащих произвольное число полей и их произ-

* Дословно автор пишет: «...когда мы пользуемся полевыми уравнениями», что в развернутой форме означает: «при условии, что поля в действии удовлетворяют полевым уравнениям». В современной русской терминологии для этого условия общепринят термин «на уравнениях движения», который мы используем здесь и ниже. — Прим. ред.

водных, нам придется рассматривать как линейные, так и нелинейные переопределения полей, и в результате несущественным оказывается бесконечное подмножество параметров теории.

Приложение

Вывод скобок Дирака из канонических коммутаторов

В этом Приложении для теорий двух типов мы покажем, что формула для коммутаторов в виде дираковских скобок, умноженных на i, следует из обычных канонических коммутационных соотношений для редуцированного набора переменных.

À

Предположим (как это имеет место в случае массивного векторного поля Vμ), что квантовые переменные Ψa è Πa, возникающие

из лагранжиана L, можно разделить на два класса *: один набор Qn независимых канонических переменных (типа Vi(x)) с независимыми канонически сопряженными импульсами Pn = ∂L∂Q& n , и другой

набор переменных Qr(x) (òèïà V0), производные по времени которых не входят в функцию Лагранжа. Первичные связи имеют вид χ1r = 0, ãäå

— импульсы, канонически сопряженные к Qr. Вторичные связи возникают из уравнений движения 0 = ∂L/∂Qr äëÿ Qr. Предполо-

жим, что эти связи могут быть «разрешены», т. е. их можно записать в виде χ2r = 0, ãäå χ2r имеет вид

* Мы вновь используем компактные обозначения, в которых метки a, n и r включают пространственные координаты x, а также дискретные индексы. По повторяющимся индексам проводится суммирование и интегрирование. Считается, что все квантовые переменные вычисляются в один и тот же момент времени, причем общий временной аргумент везде опущен. Величи- ны Qr тождественны введенным в разделе 7.2 величинам Cr.

(Примером может служить формула (7.6.5), где V0 выражается через независимые импульсы Р (в данном случае Πi) и переменные

Q.) Предположим, что независимые канонические переменные Q и P удовлетворяют обычным каноническим коммутационным соотношениям:

Связь χ2r = 0 приводит к следующим коммутаторам, включающим Q :

а все коммутаторы, включающие Pr, естественно, равны нулю:

Сравним эти коммутаторы со скобками Дирака. Скобки Пуассона от связей имеют вид:

(В примере с массивным векторным полем величины Γrs обращают-

ся в нуль, но приведенная аргументация верна и для ненулевых Γrs.) Легко видеть, что матрица С имеет обратную:

(C−1)1r,1s = Γ rs , (C−1)2r,2s = 0 ,

(C−1)1r,2s = −(C−1)2s,1r = δsr . (7.À.11)