Приложение |
447 |
Этого и следовало ожидать, поскольку, как отмечалось в разделе 7.6, все дираковские скобки, включающие функции связей, обращаются в нуль, а дираковские скобки, включающие Q r è/èëè Ps, можно вычислить, используя уравнения связи для выражения Q r è/èëè Ps через независимые переменные Q и P.
Â
Рассмотрим теперь случай, когда связи принимают вид условий χ1r(Ψ) = 0 íà Ψa, которые можно разрешить, выразив все Ψa
через меньший набор независимых переменных Qn, и такое же число отдельных условий χ2r(Π) = 0 íà Πa, которые также можно разрешить, выразив Πa через меньший набор независимых
переменных Pn. (Соответствующий пример будет рассмотрен в следующей главе, где связи на Ψa представляют собой условия, фиксирующие калибровку, а связи на Πa — вторичные связи,
возникающие из условия совместности связей первого рода с полевыми уравнениями.) Предположим, что независимые переменные удовлетворяют обычным каноническим коммутационным
соотношениям [Qn,Pm] =iδnm, [Qn,Qm] = |
[Pn,Pm] = 0. Зависимые |
|||||||||||||||
и независимые импульсы связаны соотношениями |
||||||||||||||||
∂L |
∂L |
∂Ψb |
∂Ψb |
|||||||||||||
Pn = |
= |
n = Πb |
n , |
(7.À.17) |
||||||||||||
& n |
& b |
∂Q |
∂Q |
|||||||||||||
∂Q |
∂Ψ |
|||||||||||||||
Отсюда следует, что |
||||||||||||||||
[Ψa , Π |
] |
∂Ψb |
= [Ψa , P ] |
= i |
∂Ψa |
|||||||||||
∂Qn |
∂Qn |
|||||||||||||||
b |
n |
|||||||||||||||
или, иными словами, |
||||||||||||||||
{[Ψa , Πb ] − iδba } |
∂Ψb |
= 0 . |
||||||||||||||
(7.À.18) |
||||||||||||||||
∂Qn |
||||||||||||||||
Связи χ (Ψ) = 0 удовлетворяются для Ψa = Ψa(Q) ïðè âñåõ Q, òàê ÷òî |
||||||
1r |
||||||
∂χ |
1r |
∂Ψb |
= 0 . |
|||
(7.À.19) |
||||||
∂Ψb ∂Qn |
||||||
448 |
Глава 7. Канонический формализм |
Далее, векторы (Vr)b ≡ ∂χ1r/∂Ψb образуют полный набор векторов, перпендикулярных ко всем векторам (Un)b ≡ ∂Ψb/∂Qn, поскольку,
если бы существовал какой-то другой вектор Vb, удовлетворяющий условию Vb(Un)b = 0 для всех n, то это означало бы наличие дополнительных ограничений на Ψa. Поэтому из (7.А.18) вытека-
åò, ÷òî
[Ψa , Πb |
] = iδba + icra |
∂χ1r |
(7.À.20) |
|
∂Ψb |
||||
с некоторыми неизвестными коэффициентами car. Чтобы определить эти коэффициенты, используем другие связи, а именно, что χ2r(Π) = 0. Из них следует, что
0 = [Ψa , χ2r (Π)] = i[Ψa , Πb ] ∂χ2r (Π) .
∂Πb
Используя (7.А.20), получаем тогда
∂χ2r (Π) |
= −csa |
∂χ1s (Ψ) |
∂χ2r (Π) |
. |
(7.À.21) |
|||
∂Ψb |
||||||||
∂Π |
a |
∂Π |
b |
|||||
Множитель при cas есть скобка Пуассона
∂χ1s (Ψ) ∂χ2r (Π) = [χ1s , χ2r ]P ≡ C1s,2r . ∂Ψb ∂Πb
Кроме того, поскольку χ1s зависит только от Ψ, à χ2r − только от Π, ýòî
единственные отличные от нуля скобки Пуассона связей, тогда как
C1r,1s = C2r,2s = 0 .
Таким образом, можно переписать (7.А.21) в виде
∂χN |
= −caC |
, |
(7.À.22) |
∂Πa |
s 1s,N |
||
где N нумерует все связи. Для связей второго рода это уравнение имеет единственное решение
450 |
Глава 7. Канонический формализм |
где сумма берется по независимым каноническим переменным. В теориях обоих типов, рассмотренных в этом Приложении, такой гамильтониан можно записать через все переменные в виде
& |
a |
− L . |
(7.À.30) |
H = ΠaΨ |
Для теорий типа А это утверждение тривиально: сумма по a берется по значениям n, для которых Ψn = Qn è Πn = Pn −
независимые канонические переменные, а также по значениям r, для которых Πr = Pr = 0. Для теорий типа В заметим, что из (7.А.17)
следует
& n |
∂Ψb |
& n |
& b |
PnQ |
= Πb ∂Qn Q |
= ΠbΨ . |
|
что вновь приводит к (7.А.30).
Задачи
1.Рассмотрите теорию нескольких действительных скалярных полей Φn с лагранжианом
L = − 21 åmn ∂μΦn∂μΦm fnm(Φ),
ãäå fnm(Φ) − произвольная действительная матричная функция поля. (Такая теория называется нелинейной σ-моделью.) Про-
ведите каноническое квантование этой теории. Получите вид взаимодействия V[ϕ(t), ϕ& (t) ] в представлении взаимодействия.
2.Рассмотрите теорию действительных скалярных полей Φn è
дираковских полей Ψi с лагранжианом L = L0 + L1, ãäå L0 − обычный лагранжиан свободных полей, а L1 − взаимодействие, содержащее поля Φn è Ψi, но не их производные. Получите явное выражение для симметричного тензора энергии−импульса Θμν.
3.Пусть в теории, описанной в задаче 2, плотность лагранжиана инвариантна относительно глобального инфинитезимального преобразования
Список литературы |
451 |
δΦn = iεåm tnmΦm , δΨi = iεåj τi jΨj . |
Получите явные выражения для сохраняющихся токов, связанных с этой симметрией.
4.Рассмотрите теорию комплексного скалярного поля Φ и действительного векторного поля Vμ с лагранжианом
L = −(Dμ Φ)† Dμ Φ − 14 FμνFμν − 21 m2Vμ Vμ − H (Φ†Φ) ,
ãäå Dμ ≡ ∂μ − igVμ è Fμν ≡ ∂μVν − ∂νVμ, à Í − произвольная
функция. Проведите каноническое квантование этой теории. Получите вид взаимодействия в представлении взаимодействия.
5.В теории, рассмотренной в задаче 4, получите выражения для симметричного тензора энергии−импульса Θμν и сохраняюще-
гося тока, связанного с преобразованием симметрии, при котором δΦ = iεΦ, δVμ = 0.
6.Докажите, что скобки Дирака удовлетворяют тождеству Якоби (7.6.23).
7.Докажите. что скобки Дирака не зависят от выбора связи χN,
задающих данное подмногообразие фазового пространства.
Список литературы
1.Casimir,H.B.G., Proc. K. Ned. Akad. Wet., 51, 635 (1948); Spaarnay, M.J., Nature, 180, 334 (1957).
2.Belinfante, F., Physica, 6, 887 (1939); см. также: Rosenfeld, L.,
Memoires de l'Academie Roy. Belgique, 6, 30 (1930).
3.См., например: Weinberg, S., Gravitation and Cosmology (Wiley, New York, 1972), ch. 12 (есть рус. пер.: С. Вейнберг. Гравитация и космология. М.: Наука, 1972).