Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

включены в то, что мы назвали действием материи. С учетом формул (8.1.11) и (8.1.14) уравнения электромагнитного поля имеют вид

Видно, что это обычные неоднородные уравнения Максвелла с током Jν. Есть и другие, однородные, уравнения Максвелла

которые непосредственно вытекают из определения Fμν ≡ ∂μAν–∂νAμ.

Выше мы исходили из существования безмассовых частиц спина единица и были вынуждены потребовать инвариантности действия материи относительно локального калибровочного преобразования (8.1.12), (8.1.13).

Обычно этот вывод производится в обратном направлении. Иными словами, исходят из глобальной внутренней симметрии

и задают вопрос, что нужно сделать, чтобы расширить ее до локальной симметрии

Если лагранжиан L зависит только от полей Ψl(x), но не от их производных, то нет никакой разницы в том, постоянна величина ε или нет. Инвариантность с постоянной ε влечет инвариантность и в случае, когда ε есть функция пространственно-временных коорди-

нат. Однако все реалистические лагранжианы содержат производные, и мы сталкиваемся с проблемой, что производные полей преобразуются не так, как сами поля:

Чтобы второе слагаемое в этом выражении сократилось, мы «руками» вводим векторное поле Aμ(x), преобразующееся по прави-

ëó

и требуем, чтобы лагранжиан зависел от ∂μΨl è Aμ только в

определенной комбинации

Если лагранжиан материи LM(Ψ,DΨ), построенный только из Ψl è DμΨl, инвариантен относительно преобразования с постоянной величиной ε, то он будет инвариантным и относительно преобразований (8.1.18), (8.1.20) с произвольной функцией ε(x). Для такого ла-

гранжиана имеем

что совпадает с (8.1.11). (Можно было бы включить в LM также и Fμν

и его производные.) С этой точки зрения, безмассовость частиц, описываемых потенциалом Aμ, есть не предположение,1 а следствие калибровочной инвариантности: слагаемое − m2AμAμ в лагранжиане

нарушало бы калибровочную инвариантность.

8.2. Связи и калибровочные условия

Электродинамика обладает рядом особенностей, препятствующих квантованию этой теории по типу рассмотренных в предыдущей главе теорий массивных частиц. Как обычно, можно определить канонический импульс для электромагнитного векторного потенциала равенством

Квантование по обычным правилам приводило бы к формуле

460 Глава 8. Электродинамика

[A ( , t), Πν ( , t)] = iδνδ3 ( − ) .

μ x y μ x y

Но в данном случае это равенство невозможно, поскольку Aμ è Πν

подчиняются ряду связей.

Первая из них следует из того факта, что лагранжиан не за-

Это первичная связь, так как она следует непосредственно из структуры лагранжиана. Но здесь есть и вторичная связь, вытекающая из уравнения поля для величины, фиксированной первичной связью **:

так как слагаемое с производной по времени выпадает из-за равенства F00 = 0. Хотя лагранжиан материи может в общем случае зависеть от A0, плотность заряда зависит только от полей материи ***

Qn и канонически сопряженных им импульсов Pn:

Следовательно (8.2.3) есть функциональное соотношение между каноническими переменными. Оба соотношения (8.2.2) и (8.2.3) несовместимы с обычными предположениями, что

*В случае Lγ = –FμνFμν/4 имеем ∂Lγ/∂(∂0Aμ) = –F0μ, что равно нулю при

μ= 0, òàê êàê Fμν — антисимметричный тензор. Для лагранжиана материи

LM, включающего только Ψl è DμΨl, предписание (8.1.21) утверждает, что LM не зависит от любых производных любых компонент Aν. Даже если лагранжиан материи зависит от Fμν, производная ∂LM/∂(∂νAμ) будет также антисимметрична по μ è ν и, следовательно, обратится в нуль при μ = ν = 0.

**Как обычно, i, j, и т. д. принимают значения 1,2,3.

***Ввиду истощения ресурсов алфавита, я вынужден использовать здесь

иные, чем в предыдущей главе, обозначения. Символы Qn è Pn сохранены для обозначения полей материи и канонически сопряженных им импульсов, соот-

ветственно, а электромагнитные поля и сопряженные им канонические импульсы обозначены соответственно через Ai è Πi.

[Aμ (x, t), Π ν (y, t)] = iδμν δ3 (x − y) ,

[Qn (x, t), Π ν (y, t)] = [Pn (x, t), Π ν (y, t)] = 0.

Мы сталкивались с аналогичной проблемой в теории массивного векторного поля. В том случае было предложены два эквивалентных пути ее решения: либо методом скобок Дирака, либо более непосредственно, принимая в качестве канонических переменных только Ai è Πi и разрешая аналог уравнения (8.2.3) относительно А0,

что позволяет выразить А0 через эти переменные. Ясно, что в данном случае нельзя использовать скобки Дирака. Функциями связей

χ здесь являются Π0 è ∂iΠi – J0 (вместо ∂iΠi – m2A0 –J0), è èõ

скобки Пуассона очевидно равны нулю. По терминологии Дирака, связи (8.2.2) и (8.2.3) относятся к первому роду. Кроме того, мы не можем устранить A0 как динамическую переменную, выразив ее через другие переменные. Вместо того, чтобы определять А0 во все моменты времени, уравнение (8.2.3) играет роль начального условия: если оно выполнено в один момент времени, то оно удовлетворяется во все моменты, поскольку (в силу уравнений для других полей Ai)

и условие сохранения тока дает

Не следует удивляться, что у нас имеются четыре компоненты Aμ и только три полевых уравнения. Дело в том, что эта теория обла-

дает локальной калибровочной симметрией, что делает в принципе невозможным определить значения полей в произвольные моменты времени, зная их величину и скорость изменения в любой определенный момент. Зная любое решение Aμ(x,t) уравнений