Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

С помощью коммутационных соотношений (8.3.5) читатель может проверить, что скорость изменения любой операторной функции F

8.4. Электродинамика в представлении взаимодействия

Разобъем теперь гамильтониан (8.3.11) на слагаемое Н0, описывающее свободные частицы, и взаимодействие V:

ãäå Íматерии,0 è Vматерии — входящие в Нматерии гамильтониан свободных частиц материи и их взаимодействиея, а Vкулон — кулоновское

взаимодействие (8.3.12). Полный гамильтониан (8.4.1) не зависит от времени, поэтому выражения (8.4.2) и (8.4.3) могут быть вычислены в любой желаемый момент времени (но один и тот же для обеих слагаемых), в частности, при t = 0. Как и в гл. 7, переход к представлению взаимодействия производится с помощью преобразования подобия

V(t) = exp(iH0t)V[A, Π , Q, P]t=0 exp(−iH0t)

= π (8.4.4)

V[a(t), (t), q(t), p(t)],

где Р означает здесь импульсы, канонически сопряженные полям материи Q, а любой оператор o(x,t) в представлении взаимодействия связан с оператором O(x,t) в гейзенберговском представлении при t = 0 равенством

(Мы опустили индекс B у π(x).) Так как (8.4.5) есть преобразование

подобия, коммутационные соотношения при равных временах имеют тот же вид, что и в гейзенберговской картине:

и аналогично для полей материи и соответствующих им канонических импульсов. По тем же причинам остаются в силе уравнения связей (8.2.6) и (8.3.8):

Чтобы установить соотношение между π è a& , следует вычислить a& согласно формуле (8.4.6):

ia& i (t) = [ai (x, t), H0 ]

Можно заменить ¶/¶xj во втором слагаемом на –¶/¶yj, проинтегриро-

вать по частям и воспользоваться (8.4.11), что дает в результате

как и в представлении Гейзенберга. Аналогично, полевое уравнение определяется равенством

iπ& i (t) = [πi (x, t), H0 ]

которое после использования соотношений (8.4.10) и (8.4.12) принимает вид обычного волнового уравнения

Поскольку А0 не является независимой полевой переменной в гейзенберговском представлении, а представляет собой функционал (8.2.9) полей материи и соответствующих им импульсов, обращающийся в нуль в пределе нулевых зарядов, то в представлении взаимодействия мы просто полагаем

Наиболее общее действительное решение уравнений (8.4.10), (8.4.13) и (8.4.14) можно записать в виде

(8.4.15)

ãäå p0 º |p|, eμ(p,s) — два произвольных независимых «вектора по-

ляризации», удовлетворяющие условиям

à a(p,σ) — пара операторных коэффициентов, отвечающих двум значениям индекса σ. Подобрав нормировку a(p,σ), можно нормировать eμ(p,σ) так, чтобы условие полноты имело вид

Например, можно выбрать e(p,σ) в таком же виде, как в разделе

5.9:

ãäå R( $ ) — стандартное вращение, поворачивающее третью ось по p

направлению р. Используя формулы (8.4.18) и (8.4.12), можно без труда убедиться, что коммутационные соотношения (8.4.7)–(8.4.9) будут выполнены, если (и, на самом деле, только если) операторные коэффициенты в (8.4.15) удовлетворяют коммутационным соотношениям

Как отмечалось выше для случая массивных частиц, этот результат следует рассматривать не столько как альтернативный вывод соотношений (8.4.20) и (8.4.21), а как проверку, что (8.4.2) дает правильный гамильтониан свободных безмассовых частиц спиральности ±1. Действуя в том же духе,можно подставить формулы (8.4.12)

и (8.4.15) в формулу (8.4.2) и вычислить гамильтониан свободных фотонов

σ

который получается таким, какой и следовало ожидать (если не считать несущественного бесконечного с-числового слагаемого).

Наконец, находим, что взаимодействие (8.4.4) в представлении взаимодействия имеет вид

V(t) = −z d3x jμ (x, t)aμ (x, t) + Vкулон (t) + Vматерии (t) , (8.4.23)

ãäå jμ(x) выражается через ток J в представлении взаимодействия:

à Vматерии(t) есть неэлектромагнитная часть взаимодействия полей материи в представлении взаимодействия:

Заметим, что в выражении (8.4.23) написано jμaμ вместо j×a, однако это одно и то же, поскольку мы определили 4-вектор aμ òàê, ÷òî

à0 = 0.

8.5. Пропагатор фотона

Согласно описанным в гл. 6 фейнмановским правилам, внутренняя фотонная линия в диаграмме Фейнмана вносит в соответствующее слагаемое в S-матрице множитель, равный пропагатору

где Т, как обычно, обозначает хронологическое произведение. Подставляя формулу (8.4.15) для электромагнитного потенциала, находим:

,