Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

преобразованное поле Aμ + ¶μl будет ему удовлетворять, если выбрать l таким, что Ñ2l = – Ñ × A. Начиная с этого момента, предпо-

лагаем это преобразование выполненным, так что

Далее удобно ограничиться теориями, в которых лагранжиан материи LM зависит от полей материи и их производных по времени, а также от поля Aμ, но не от его производных.

(Стандартные скалярная и спинорная электродинамики имеют лагранжианы именно этого типа.) Тогда единственным слагаемым в лагранжиане, зависящим от Fμν, является кинетический член

–FμνFμν/4, так что уравнение связи (8.2.3) имеет вид:

В сочетании с условием кулоновской калибровки (8.2.6) получаем:

Оставшиеся степени свободы — поля Ai, i = 1,2,3, подчиняющиеся условию Ñ × À.

Как отмечено выше, плотность заряда зависит только от полей материи Qn и канонически сопряженных им импульсов Pn, так что формула (8.2.9) дает явное решение для вспомогательного поля A0.

8.3. Квантование в кулоновской калибровке

Все же есть еще одно препятствие, мешающее каноническому квантованию электродинамики в кулоновской калибровке. Даже после использования формулы (8.2.9) для исключения A0 (è P0) èç

списка канонических переменных, мы не можем использовать обыч- ные канонические коммутационные соотношения для Ai è Pi, òàê

x3

A3 (x) = − z ds[∂1A1(x1, x2 , s) + ∂2 A2 (x1, x2 , s)] .

Аналогично, с помощью уравнения связи (8.3.2) можно выразить импульсы Πi , канонически сопряженные полям Ai , через им-

пульсы P1x è P2x, канонически сопряженные переменным Q1x è Q2x. В таких случаях, как показано в части В Приложения к предыдущей главе, если независимые переменные Q1x, Q2x, P1x è P2x удовлетворяют обычным каноническим коммутационным соотношениям, то коммутаторы подчиняющихся связям канонических переменных даются (с точностью до множителя i) соответствующими скобками Дирака (7.6.20). Большое преимущество этого рецепта заключается в том, что мы не должны использовать явные выражения для зависимых переменных через независимые.

Чтобы вычислить скобки Дирака, заметим, что матрица С имеет обратную:

Кроме того, неисчезающие скобки Пуассона переменных Ai è Πi ñ

функциями связи имеют вид

Отсюда, согласно (7.6.19) и (7.6.20), одновременны1е коммутаторы имеют вид

466 Глава 8. Электродинамика

Заметим, что эти выражения совместны с условиями кулоновской калибровки (8.3.1) и (8.3.2), что и гарантируется общими свойствами скобок Дирака.

Но что такое Π в электродинамике? Для того класса теорий,

бая скалярная функция. Поэтому все, что удается выяснить из исследования лагранжиана, сводится к тому, что P равно A& (x) + ÑA0 (x)

плюс градиент некоторого скаляра. Эта неоднозначность устраняется условием (8.3.2), требующим, чтобы Ñ × Π = -J0 = Ñ2A0. Òàê êàê Ñ × A& = 0, приходим к выводу, что формула (8.3.6) действительно дает правильное выражение для Pi.

Хотя коммутационные соотношения (8.3.5) сравнительно просты, мы сталкиваемся с той трудностью, что Π не коммутирует с

полями материи и соответствующими им каноническими импульсами. Если F — любой функционал этих степеней свободы материи, то его скобка Дирака с А обращается в нуль, но скобка Дирака с Π равна

=-z d3y[F, A0 (y)]PÑd3 (y - z)

=[F, ÑA0 (z)]P = [F, ÑA0 (z)]D .

Чтобы упростить переход к представлению взаимодействия, мы запишем гамильтониан не через переменные А и P, а через переменные А и ΠB, ãäå ΠB — соленоидальная часть P:

для которой [F, ΠB(z)] = 0. Используя то, что ΠB(x) коммутирует с

Π(y) - ΠB(y) = ÑA0(y), è ÷òî ¶iA0(x) коммутирует с ¶jA0(y), легко убедиться, что ΠB(x) удовлетворяет тем же коммутационным соот-

ношениям (8.3.5), что и Π(x), а также простому уравнению связи

Теперь нужно построить гамильтониан. Согласно общим результатам Приложения к гл. 7, можно, не выписывая гамильтониан явно через независимые переменные Q и P, использовать обычное соотношение между гамильтонианом и лагранжианом, записанное че- рез подчиняющиеся связям переменные А и ΠB. В электродинамике

это приводит к формуле

где, как упоминалось выше, Qn è Pn - поля материи и соответст-

вующие им канонические импульсы. (В формуле (8.3.9) можно использовать ΠB вместо Π, òàê êàê Ñ ×À = 0.)

Для определенности, рассмотрим теорию с плотностью лагранжиана

ãäå Jμ — ток, не содержащий Aμ, à Lматерии — лагранжиан любых других полей, входящих в Jμ, кроме их электромагнитного взаимо-

действия, которое задается в лагранжиане (8.3.10) явно слагаемым JμAμ. (Такой вид имеет лагранжиан электродинамики частиц спина

1/2, тогда как электродинамика частиц спина нуль более сложна.) Заменяя везде A& íà ΠB, приходим к следующему виду гамильто-

ниана (8.3.9):

ãäå HM — гамильтониан полей материи за вычетом их электромагнитного взаимодействия,