8.5. Пропагатор фотона |
473 |
−i |
(x − y) = |
X |
d3p |
P |
(p)[eip×(x- y)θ(x − y) + eip×(y-x)θ(y − x)] , |
||
mn |
Y |
||||||
(2π)3 2| p| |
mn |
||||||
Z |
|||||||
ãäå |
Pmn (p) ≡ åem (p, σ)en (p, σ)* , |
||||||
(8.5.3) |
|||||||
s=±1
àpμ в показателях экспоненты берется с p0 = |p|. Напомним, что
согласно формулам (8.4.17) и (8.4.18)
P (p) = δ |
− |
pipj |
, |
|
ij |
||||
ij |
| p|2 |
|||
(8.5.4) |
P0i (p) = Pi0 (p) = P00 (p) = 0 .
Как мы видели в гл. 6, тета-функции в (8.5.2) можно записать как интегралы по независимой временной компоненте q0 4-вектора qμ,
лежащего вне массовой поверхности, так что формулу (8.5.2) можно переписать в виде
X |
P |
(q) |
|||
mn (x − y) = (2π)-4 Y d4q |
mn |
eiq×(x- y) , |
(8.5.5) |
||
q2 − iε |
|||||
Z |
|||||
Таким образом, при использовании фейнмановских правил в импульсном пространстве, вклад внутренней фотонной линии, несущей 4-импульс q и соединяющей две вершины, в которых фотон рождается и уничтожается полями aμ è aν, дается выражением:
−i |
Pmn (q) |
. |
(8.5.6) |
|
(2π)4 |
q2 − iε |
|||
Очень полезно (хотя и кажется на первый взгляд извращением) переписать (8.5.4) в виде
P |
(q) = η |
+ |
q |
0 q |
m |
n |
n |
+ q |
0 q |
n |
n |
m |
− q |
m |
q |
n |
+ q |
2 n |
m |
n |
n |
, |
(8.5.7) |
|
mn |
||||||||||||||||||||||||
mn |
| q|2 |
|||||||||||||||||||||||
ãäå nμ ≡ (0,0,0,1) — фиксированный времениподобный вектор, q2 как обычно равно q2 − (q0)2, íî q0 полностью произвольно. Мы
474 |
Глава 8. Электродинамика |
выберем q0 в представлении (8.5.7) так, чтобы эта компонента определялась законом сохранения 4-импульса: это есть разность компонент р0 импульсов частиц материи, входящих и выходящих из той вершины, откуда исходит фотонная линия *. Поэтому слагаемые, пропорциональные qμ è/èëè qν, не дают вклада в S-матри- цу, так как множители qμ è qν действуют как производные ∂μ è ∂ν, а фотонные поля aμ è aν связаны с токами jμ è jν, которые удовлетворяют условию сохранения ∂μjμ = 0 **. Слагаемое, пропорциональное nμnν, содержит множитель q2, который сокращается с q2 â çíà-
менателе пропагатора. В результате получается выражение, совпадающее с тем, которое возникло бы от следующего слагаемого в действии:
XX |
−i |
X d4q |
|||||
−i |
1 YY d4xd4 y[−ij0 |
(x)] [−ij0 (y)] |
Y |
eiq×(x - y) . |
|||
(2π)4 |
|||||||
2 |
ZZ |
Z | q|2 |
|||||
Здесь интеграл по q0 дает дельта-функцию по времени, так что это выражение эквивалентно следующей поправке к гамильтониану взаимодействия V(t):
− |
1 X |
3 |
X |
3 |
j0 (x, t)j0 (y, t) |
. |
|||
2 |
Y d |
xY d |
y |
||||||
4π| x − y| |
|||||||||
Z |
Z |
||||||||
* В авторском тексте, если переводить дословно, говорится об отве- чающих материи импульсах, «втекающих» и «вытекающих» из вершины. В русскоязычных текстах более употребительна другая терминология, которой мы здесь в основном придерживаемся. Именно, принято не только внешние линии, отвечающие реальным частицам на массовой поверхности, но и внутренние линии, отвечающие пропагатору некоторой частицы, отождествлять с самой частицей (называя ее виртуальной, т. е. лежащей вне массовой поверхности). Соответственно говорят: частица входит и выходит из вершины, импульс частицы и т. д. Говорят также (в частности, и автор книги), что импульс соответствующей частицы входит в вершину или выходит из вершины. — Прим. пер.
** Приведенные здесь аргументы не многим лучше простого размахивания руками. Результат доказывается путем детального анализа фейнмановских диаграмм,3 но простейший способ анализа проблемы связан с обсуждающимися в разделе 9.6 методами функционального интегрирования.
476 |
Глава 8. Электродинамика |
|||
Jμ = |
∂L |
= −ie |
Ψγ μ Ψ . |
(8.6.2) |
∂Aμ |
||||
Взаимодействие (8.4.23) в представлении взаимодействия здесь имеет вид:
V(t) = +iez d3x(ψ(x, t)γ μ ψ(x, t)) aμ (x, t) + Vкулон (t) . |
(8.6.3) |
(В это выражение не входит Vматерии.) Как было показано, кулоновское слагаемое Vкулон(t) нужно только для того, чтобы сократить нековариантную и локальную по времени часть фотонного пропагатора.
Следуя общим результатам раздела 6.3, можно сформулировать фейнмановские правила в импульсном пространстве для связной части S-матрицы в такой теории.
1.Рисуются все фейнмановские диаграммы с числом вершин вплоть до некоторого заданного. Диаграммы содержат электронные линии со стрелками и фотонные линии без стрелок, которые подсоединяются к вершинам, причем в каждой вершине есть одна входящая и одна выходящая электронные линии и одна фотонная линия. Каждой частице в начальном или конечном состоянии отвечает внешняя линия, соответственно входящая в диаграмму снизу или выходящая из диаграммы вверх. При этом электронам отвечают внешние линии со стрелками, направленными вверх, соответственно,
âдиаграмму или из диаграммы; позитронам отвечают внешние линии со стрелками, направленными вниз, соответственно, из диаграммы или в диаграмму. Кроме того, имеется столько внутренних линий, сколько необходимо, чтобы к каждой вершине подсоединялось нужное число линий. Каждой внутренней линии приписывается (и рисуется рядом с ней) 4-импульс вне массовой поверхности *, определенным образом направленный вдоль линии (по соглашению, импульс направлен вдоль стрелок на электронных линиях). Каждой внешней линии приписывается (и рисуется рядом с ней) импульс частицы и z-компонента спина (для электрона) или спиральность (для фотона) в начальном и конечном состояниях.
2.Элементам диаграммы сопоставляются определенные множители по следующим правилам.
* Говорят также, что линия несет на себе 4-импульс, который, как уже отмечалось в прим. пер. на с. 474, отождествляют с 4-импульсом соответствующей (виртуальной) частицы. — Прим. пер.