Материал: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

Каждой линии, отвечающей позитрону в начальном состоянии и выходящей из вершины с дираковским индексом β около этой

линии, сопоставляется множитель

Здесь u и v — четырехкомпонентные спиноры, свойства которых обсуждались в разделе 5.5.

Каждой линии, отвечающей фотону в конечном состоянии и подсоединенной к вершине с пространственно-временным индексом μ около этой линии, сопоставляется множитель

Каждой линии, отвечающей фотону в начальном состоянии и подсоединенной к вершине с пространственно-временным индексом μ около этой линии, сопоставляется множитель

Здесь eμ — 4-вектор поляризации фотона, обсуждавшийся в пре-

дыдущем разделе.

Внутренние линии

Каждой внутренней электронной линии с 4-импульсом k, идущей от вершины с дираковским индексом β к другой вершине с дираковским индексом α, сопоставляется множитель

(Мы используем здесь очень удобное восходящее к Дираку «пере- черкивание»: для любого 4-вектора vμ символ v/ означает произве-

дение γμvμ.)

Каждой внутренней фотонной линии с 4-импульсом q и соединяющей две вершины с пространственно-временными индексами μ è ν, следует сопоставить множитель

3.Произведение всех указанных множителей интегрируется по 4-импульсам всех внутренних линий и суммируется по всем дираковским и пространственно-временным индексам.

4.Все результаты, полученные таким образом для каждой фейнмановской диаграммы, складываются. Могут понадобиться дополнительные комбинаторные множители и фермионные знаки, описанные в пп. 5 и 6 раздела 6.1.

Трудности при вычислении вкладов фейнмановских диаграмм резко нарастают с ростом числа внутренних линий и вершин, поэтому важно иметь представление о том, какие численные факторы подавляют вклады более сложных диаграмм. Мы оценим эти численные факторы, учитывая не только степени электрического заряда е, входящего в вершины, но и множители 2 и π от вершин,

пропагаторов и интегралов по импульсному пространству. Рассмотрим связную фейнмановскую диаграмму с V вершина-

ми, I внутренними линиями, Е внешними линиями и L петлями. Эти величины не являются независимыми, а связаны соотношениями, уже использованными в разделе 6.3:

L = I − V +1, 2I + E = 3V.

От каждой вершины имеем множитель e(2π)4, от каждой внутренней линии − множитель (2π)−4, кроме того, каждой петле соответст-

вует интеграл по четырехмерному импульсному пространству. Элемент объема в четырехмерном евклидовом пространстве, выраженный через радиальный параметр κ, равен π2κ2dκ2 *, так что каждая петля вносит множитель π2. Таким образом, диаграмма содержит

множитель

* Предполагается, что выполнен так называемый евклидов (виковский) поворот (см. ниже раздел 11.2), и интегрирование ведется по евклидову импульсному пространству. Кроме того, предполагается, что результат интегрирования не зависит от углов и по ним проведено усреднение (объем единичной сферы равен 2π2). — Ïðèì. ðåä.

480 Глава 8. Электродинамика

Число Е внешних линий в данном процессе фиксировано, поэтому видно, что параметр разложения, определяющий подавление вклада фейнмановских диаграмм с каждой дополнительной петлей, равен

К счастью, эта величина мала, так что можно добиться достаточ- ной точности, рассчитав вклад фейнмановских диаграмм с небольшим числом петель.

* * *

Следует добавить несколько слов о спиновых состояниях фотонов и электронов в реальных экспериментах, когда не каждая из частиц в начальном и конечном состояниях обладает определенной спиральностью или z-компонентой спина. Особенно это относится к фотонам, которые на практике часто находятся не в состоянии с определенной спиральностью, а в состоянии с поперечной или эллиптической поляризацией. Как показано в предыдущем разделе, векторы поляризации фотонов со спиральностью ±1 равны

ãäå R( $ ) − стандартное вращение, переводящее ось z по направле- p

нию вектора р. Эти состояния фотонов не единственно возможные; в общем случае состояние фотона есть линейная комбинация спиральных состояний Ψp,±1,

Чтобы вычислить матричный элемент поглощения или испускания такого фотона, нужно просто заменить eμ(p,±1) в фейнмановских

правилах на

Векторы поляризации с определенной спиральностью удовлетворяют условию нормировки

Предельными случаями являются круговая поляризация, для которой α− = 0 èëè α+ = 0, и линейная поляризация, для которой |α+| = |α−| = 12 . В последнем случае, подобрав общую фазу состояния (8.6.13), можно сделать α+ è α− комплексно сопряженными друг

Тогда в правилах Фейнмана нужно использовать вектор поляризации

Здесь ϕ − азимутальный угол вектора поляризации фотона в плос-

кости, перпендикулярной вектору р. Заметим, что в данном случае вектор поляризации фотона действителен, что возможно только

для линейной поляризации. Между крайними случаями круговой и линейной поляризаций находятся состояния эллиптической поляризации, для которых |a+| è |a−| не равны нулю и друг другу.

В более общем случае, начальный фотон может быть приготовлен как статистическая смесь спиновых состояний. В самом общем случае эта смесь может содержать любое число состояний произвольных поляризаций eμ(r) (p) , входящих с вероятностью Pr . Âå-

роятность поглощения такого фотона в данном процессе имеет вид

Поскольку очевидно, что r - эрмитова положительная матрица с единичным следом (так как årPr = 1), причем rν0 = r0μ = 0 è rνμpν = = rνμpμ = 0, ее можно записать в виде

ãäå eμ(p;s) - два ортонормированных собственных вектора матрицы r, для которых

à ls - соответствующие собственные значения, причем

ls ³ 0, åls = 1.

s=1,2

Теперь можно записать вероятность процесса поглощения фотона в следующем виде