8.6. Правила Фейнмана для спинорной электродинамики |
483 |
Отсюда следует, что любая статистическая смесь начальных состояний фотона всегда эквивалентна смеси всего двух ортонормированных поляризацийм eν(p;s) c вероятностями λs.
В частности, если мы совершенно ничего не знаем о поляризации начального фотона, то две вероятности λs для векторов eν(p;s) равны, так что λ1 = λ2 = 1/2, и матрица плотности (а отсю-
да и вероятность поглощения) есть среднее значение по начальным поляризациям:
ρ |
= 1 |
* |
(p; s) |
= 1 |
( |
δ |
− |
$ $ |
(8.6.25) |
||
ij |
2 |
å ei (p; s)ej |
2 |
ij |
pipj ) . |
s=1,2
Êсчастью, этот результат не зависит от конкретной пары векторов
поляризации ei(p;s), по которым мы проводим усреднение. Для неполяризованных фотонов можно усреднять вероятность поглощения по любой паре ортонормированных векторов поляризации. Аналогично, если не делается попыток измерить поляризацию фотона в конечном состоянии, тогда вероятность можно рассчитать путем суммирования по любой паре ортонормированных векторов поляризации конечного фотона.
Аналогичные замечания применимы к электронам и позитронам. Если, как это обычно имеет место, не делается попыток приготовить электрон или позитрон так, чтобы одни спиновые состояния были предпочтительнее других, тогда вероятность должна вычисляться путем усреднения по любым двум ортонормированным на-
чальным спиновым состояниям, например, по состояниям с z-ком- понентами спина σ = ±1/2. Если не пытаются измерить спиновые
состояния конечных электрона или позитрона, то нужно суммировать вероятность по любым двум ортонормированным конечным
спиновым состояниям, например, по состояниям с z-компонентами спина σ = ±1/2. Такие суммы можно вычислить с помощью соотно-
шений (5.5.37) и (5.5.38):
F −ip/ + mI |
|||||||
å uα (p, σ)uβ (p, σ) = G |
J |
, |
(8.6.26) |
||||
0 |
|||||||
σ |
H |
2p |
K |
αβ |
|||
å vα (p, σ) |
F |
−ip/ − mI |
|||||
v |
β (p, σ) = G |
J |
, |
(8.6.27) |
|||
0 |
|||||||
σ |
H |
2p |
K |
αβ |
|||
486 |
Глава 8. Электродинамика |
Общее определение (3.3.2) «фейнмановской амплитуды» М в данном случае (поскольку предполагается, что какое-то рассеяние происходит) принимает вид
S = -2pid4 (p¢ + k¢ - p - k)M , |
(8.7.5) |
||||||||||||||||||||||||||||
òàê ÷òî |
|||||||||||||||||||||||||||||
= |
e2 |
¢ |
s¢ n/¢ |
* |
- |
/ + |
k/ ) |
+ |
/ |
× |
|||||||||||||||||||
M |
4(2p)3 k¢0k0 |
u(p , |
) e |
i(p |
m |
e / p |
k |
||||||||||||||||||||||
(8.7.6) |
|||||||||||||||||||||||||||||
- / |
- |
/ - |
k/ |
¢ |
+ |
/¢ |
× |
¢s |
s |
||||||||||||||||||||
e |
i(p |
) |
m |
e * / p |
k |
u(p, |
) . |
||||||||||||||||||||||
Дифференциальное сечение определяется через М формулой (3.4.15), которая в данном случае имеет вид
ds = (2p)4 u−1| M|2 d4 (p¢ + k¢ - p - k)d3p¢d3k¢ . |
(8.7.7) |
Так как одна из частиц имеет нулевую массу, из формулы (3.4.17) для относительной скорости находим:
u = | p × k| p0k0 . |
(8.7.8) |
Чтобы продолжить вычисления, удобно перейти в специальную систему отсчета. Поскольку электроны в атомах являются нерелятивистскими, в опытах по рассеянию фотонов больших энергий (рентгеновских лучей или g-квантов) на электронах обычно (хотя и не все-
гда) можно считать, что начальный электрон покоится. Примем здесь именно эту систему отсчета, так что
ð = 0, p0 = m. |
(8.7.9) |
Тогда скорость (8.7.8) равна просто
u = 1. |
(8.7.10) |
Чтобы запись была компактнее, обозначим энергии фотонов через
w = k0 = | k| = -p × k / m, |
(8.7.11) |
8.7. Комптоновское рассеяние |
487 |
w¢ = k¢0 = | k¢| = -p × k¢ / m . |
(8.7.12) |
Наличие дельта-функции от 3-импульса в формуле (8.7.7) позволяет проинтегрировать по p′, полагая p′ = k - k′. В результате остается
дельта-функция от энергии
d(p¢0 + k¢0 - p0 - k0 ) = d((k - k¢)2 + m2 + w¢ - m - w) . (8.7.13)
Этим фиксируется значение w′, удовлетворяющее условию
w2 - 2ww¢ cos q + w¢2 + m2 = w + m - w¢ .
ãäå q - угол между k и k′. Возводя обе части в квадрат и сокращая слагаемые w′2, получаем *
w¢ = w |
m |
º wc(q) . |
||||||||||
(8.7.14) |
||||||||||||
m + w(1 - cos q) |
||||||||||||
Дельта-функцию от энергии можно представить в виде |
||||||||||||
d(p¢0 + k¢0 - p0 - k0 ) = |
δ(ω |
′ |
− ωc(θ)) |
|||||||||
| ¶[ |
w2 - 2ww¢ cos q + w¢2 + m2 |
+ w¢] ¶w¢| |
||||||||||
= |
d(w¢ - wc(q)) |
= |
p¢0w¢ |
d(w¢ - wc (q)) . |
(8.7.15) |
|||||||
| (w¢ - w cos q) / p¢0 |
+ 1| |
mw |
||||||||||
Кроме того, дифференциал d3k′ можно записать как
* Эквивалентно эту формулу можно записать в виде, свидетельствующем об увеличении длины волны при рассеянии:
1 |
− |
1 |
= |
1 − cos θ |
. |
ω′ |
ω |
||||
m |
|||||
Проверка этого соотношения А. Комптоном в 1922-23 годах в опытах по рассеянию рентгеновских лучей на электронах сыграла ключевую роль в подтверждении гипотезы Эйнштейна 1905 года о световых квантах, полу- чивших вскоре после обнародования Комптоном результатов своих экспериментов название фотонов.