Материал: Волновое уравнение (96

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Остроградского – Гаусса, получим формулу Грина для оператора Лапласа:

		w∫∫			∂v	− v	∂u	∫∫∫	(u∆v − v∆u)dV .	(2.8)
		w∫∫			∂n		∂n	∫∫∫
		∑	u				dσ =	Ω
		∑						Ω
Пусть теперь u (M )						есть решение уравнения Пуассона (2.4), а
	1
функция	v =			– обобщенное решение уравнения
функция	v =	r		– обобщенное решение уравнения
		M0M

∆v = −4πδ(M , M0 ) , rM0M ≥ 0,

где M0 (x0 , y0 , z0 ) – может быть любой точкой пространства.

Тогда формула Грина для u (M )

и v (M )

примет вид

w∫∫

∂

∂u

∂n r

∂n

−

dσ

∑		M0P M0P
		−4πu (M )δ(M , M		) +	f (M )
=			0		f (M )	dV		,
=						dV		,
	∫∫∫				rM0M		M
	Ω				rM0M

где P(M ) ∑ , M Ω.

В силу определения дельта-функции

∫∫∫u (M )δ(M , M0 )dV =

Ω

= u (M0 ), и формула Грина преобразуется к виду

u (M0 ) =

∫∫∫

f (M )

dVM +

4π

Ω

M0M

∂u

∂

(2.9)

4π w∫∫

∂n

∂n r

− u

dσ

∑ M0P

M0P

Полученное соотношение называют интегральной формулой Грина. Она определяет решение u (M ) уравнения Пуассона в лю-

бой точке M0 ( x0 , y0 , z0 ), если известны значения искомого ре-

шения u (P) и его нормальной производной ∂u∂(nP) на границе ∑

области Ω. Первое слагаемое в правой части формулы называют объемным потенциалом ϕ(M ), который обладает следующим

свойством:	вне области	Ω он удовлетворяет уравнению Лапласа
∆ϕ(M ) = 0,	а внутри	области Ω – уравнению Пуассона
∆ϕ(M ) = − f (M ), что		проверяется непосредственно. Второе и

третье слагаемые называются соответственно потенциалами простого и двойного слоя.

Аналогично для решения u (M )

уравнения Пуассона (2.4) на

плоскости получаем

u (M0 ) =

∫∫

f (M )ln

dS +

2π

M0M

∂u (P)

−u (P)

∂

dl.

2π>∫

∂n

M0P

Здесь

M0 (x0 , y0 ,

z0 )

– любая

точка

плоскости, M G,

P(x,

y) L, L – граница области G.

Первое слагаемое в правой части формулы называют логарифмическим потенциалом.

Известно, что функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими. Перечислим без доказательств их свойства.

1.	Если u (M ) – гармоническая функция в					области Ω, то
w∫∫ ∂∂un dσ = 0,		где	∑ – замкнутая поверхность, ограничивающая
∑
область Ω, а n – внешняя нормаль к ней.						вид u (M0 ) =
2.	Формула		среднего	значения	имеет	вид u (M0 ) =
= w∫∫	∂∂un dσ	(4πR2 ), т.		е. среднее	значение	гармонической
∑M0 ,R
						17

функции на сфере радиуса R равно ее значению в центре шаровой области ΩM0 , R , в точке M0.

3. Гармоническая функция в замкнутой области Ω достигает своего наибольшего (наименьшего) значения на поверхности ∑, ограничивающей область Ω, – эта закономерность называется

принципом максимального значения.

Следствие. Если гармоническая функция постоянна на границе области, то она постоянна и во всей области.

2.5. Краевые задачи для уравнения Лапласа

Краевой задачей для уравнения Лапласа ∆u = 0 будем называть задачу нахождения функции u (M ) непрерывной в замкнутой

области Ω = Ω + ∑, которая внутри области удовлетворяет уравнению Лапласа, а на границе ∑ области одному из следующих

условий:

краевому условию 1-го рода

u ∑ = F (P),

краевому условию 2-го рода

				∂u	= g (P),
				∂u	= g (P),
				∂n	∑
				∂n	∑
краевому условию 3-го рода
	α	∂u		= γ(P), (α ≥ 0, β ≥ 0, α		2	+β	2	≠ 0).
		∂u				2		2
		∂n	+βu
				∑
				∑
Здесь F (P),			g (P)	и γ(P) – заданные на поверхности ∑ функ-

ции; n – внешняя нормаль к ней.

Если область Ω – внутренняя по отношению к поверхности ∑, то краевую задачу называют внутренней, а если область Ω – внешняя по отношению к поверхности ∑, то краевую задачу называют внешней. Краевую задачу для уравнения Лапласа с усло-

виями на границе 1-го рода называют задачей Дирихле, 2-го рода –

задачей Неймана.

Решения краевых задач для уравнения Лапласа обладают следующими свойствами.

1.Решение внутренней задачи Дирихле единственно.

2.Решение внутренней задачи Неймана определяется с точностью до произвольной постоянной.

3.Условие разрешимости задачи Неймана следует из свойства 1

для гармонических функций: w∫∫ g (P) dσ = 0 .

∑

2.6. Функция Грина

Пусть u (M ) – решение уравнения Лапласа в области Ω. Запишем это решение с помощью интегральной формулы Грина, по-

ложив в ней

f (M ) = 0:

u (M

) =

1 ∂u (P)

− u (P)

∂

4π w∫∫

∂n

∂n r

dσ

(2.10)

∑ M0P M0P

Пусть функция v (M ) также является решением уравнения Лапласа в области Ω. Для гармонических функций u (M ) и v (M ) из формулы Грина (2.8) получим

0 =	w∫∫	u	∂v	− v	∂u dσP .
	w∫∫		∂n		∂n
	∑

Вычитая из равенства (2.10) равенство (2.11), получим

u (M

) =

∂u (P)

4π w∫∫

∂n

+ v (P) −

∑

M0P

∂

−u (P)

+ v (P)

dσ

∂n r

M0P

(2.11)

(2.12)

Введем функцию Грина

G (M , M0 )

+ v (M ) ,

M Ω,

(2.13)

rM0M

где

– обобщенное решение для r

≥ 0.

rM0M

M0M

Учитывая (2.13), перепишем (2.12) в виде

u (M0 ) =

w∫∫

∂u (P)

G (P,

M0 ) −

∂n

4π

∑

−u (P)

∂G (P, M0 )

−dσP .

(2.14)

∂n

Формула (2.14) устанавливает связь между значениями реше-

ния уравнения Лапласа u (M0 )

в произвольной точке M0

и значе-

ниями этого решения, функции Грина и их нормальных производных на поверхности ∑.

2.7. Функция Грина в задаче Дирихле

Постановка задачи Дирихле имеет вид

∆u (M ) = 0, M Ω,

u	= F (P),	P ∑.


∑

Для нахождения решения воспользуемся формулой (2.14), где функция Грина неизвестна. Определим функцию Грина

G (M , M0 ) так, чтобы входящая в нее гармоническая в области Ω

функция				v (M )			на	границе области принимала значение
v		= −		1	, r		≥ 0.	Заметим, что
				1

	∑				M	0P
	∑				M	0P
			rM0P
20

Источник: https://studfile.net/preview/16724467/

Смотрите также:




_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога