Материал: Волновое уравнение (96

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

или

	A				2πν
u(M , t) =		exp	−i	2πνt −		r .
u(M , t) =	r	exp	−i	2πνt −		r .
	r				v

Обозначая длину волны как λ = νv , запишем решение

	A				2π
u(M , t) =		exp	−i	2πνt −		r .	(3.7)
u(M , t) =	r	exp	−i	2πνt −	λ	r .	(3.7)
	r				λ

Решение (3.7) (частное решение уравнения (3.5)) носит назва-

ние сферической монохроматической волны. Это расходящаяся волна от источника излучения, расположенного в начале системы координат.

Замечание. Можно непосредственно подстановкой показать,

что решение u (M , t) =	A	exp	−i	2πνt +	2π	r	также удовлетво-

1	r				λ

ряет волновому уравнению. Это решение – тоже сферическая волна, но сходящаяся к началу координат, что не имеет физического смысла.

3.3. Комплексная амплитуда монохроматической волны

Обратимся к волновому уравнению (3.1). Для этого уравнения мы рассмотрели два частных решения в виде плоской и сферической монохроматических волн:

			2π
uпл(M , t) = Aexp	−i	2πνt −		r e	,
uпл(M , t) = Aexp	−i	2πνt −	λ	r e	,
			λ

uсф(M , t) =	A			−i		2πνt −	2π
		exp						r	.
	r	exp					λ	r	.
	r						λ
Представим (3.8) и (3.9) в другом виде:
			2π
uпл(M , t) = Aexp i					r e exp(−i2πνt),
uпл(M , t) = Aexp i				λ	r e exp(−i2πνt),
				λ

(3.8)

(3.9)

(3.10)

	A		2π
uсф(M , t) =		exp i		r exp(−i2πνt).	(3.11)
uсф(M , t) =	r	exp i	λ	r exp(−i2πνt).	(3.11)
	r		λ

Эти два выражения представляют собой комплексные гармонические функции вида

u(M , t) = u(M )exp(−i2πνt),

(3.12)

где u(M ) – комплексная амплитуда, которая для плоской монохроматической волны имеет вид

u	(M ) = Aexp	i	2π	r e	,	(3.13)

пл			λ

а для сферической монохроматической волны – вид

u		(M ) =			A		exp	i	2π	r .	(3.14)
u		(M ) =					exp	i		r .	(3.14)
сф					r
					r				λ
Введем волновое число		2π	= k. Тогда
Введем волновое число		λ	= k. Тогда
		λ
uпл(M ) = Aexp(i k r e ),											(3.15)
u	(M ) =			A		exp(i k r).					(3.16)
u	(M ) =					exp(i k r).					(3.16)
сф				r
				r

Если амплитуда комплексной гармонической функции (3.12) представлена в виде (3.15) или (3.16), то комплексная гармониче-

ская функция u(M , t) = u(M )exp(−i2πνt) есть решение волнового уравнения (3.5).

3.4. Уравнение Гельмгольца

Поставим задачу: каким свойством должна обладать комплексная амплитуда u(M ), чтобы комплексная гармоническая функция

(3.12) была решением волнового уравнения. Пусть u(M , t) = u(M )exp(−i 2πνt) – решение волнового уравнения. Подставим это решение в уравнение (3.1):

1u(M )(−i 2πν)2 exp(−i 2πνt ) = ∆u(M )exp(−i 2πνt ).

v 2

После сокращения данного выражения на exp(−i 2πνt) ≠ 0 по-

	2πν 2
лучим −		u(M ) = ∆u(M ) или

	v

	2πν 2
∆u(M ) +		u(M ) = 0.

	v

Помня, что	2πν	=	2π	= k, окончательно записываем
Помня, что		=	λ	= k, окончательно записываем
	v		λ
				∆u(M ) + k2u(M ) = 0.	(3.17)

Уравнение (3.17) называется уравнением Гельмгольца.

Итак, гармоническая функция u(M , t) = u(M )exp(−i 2πνt) является решением волнового уравнения, если амплитуда u(M )

удовлетворяет уравнению Гельмгольца.

Замечание. Пусть u(M ) – комплексная амплитуда в решении волнового уравнения. Обозначим a(M ) = u(M ) , a(M ) ≥ 0,

ϕ(M ) = Argu(M ). Тогда u(M ) = a(M )exp(i ϕ(M )) . Подставим это выражение в u(M , t) :

u(M , t) = a(M )exp(−i(2πνt −ϕ(M ))).

(3.18)

Полученное решение волнового уравнения есть монохроматическая волна с амплитудой a(M ), полной фазой (2πνt −ϕ(M )), зависящей как от времени ϕ(t) = 2πνt, так и от координат ϕ(M ).

Поверхность постоянной фазы в любой точке M, в которой в данный момент времени t = t фаза волны ϕ(M ) постоянна и одинакова для всех точек (ϕ(M ) = const), называется волновым фрон-

том.

Замечание. Рассмотрим решение волнового уравнения (3.1) в виде (3.18) в комплексной форме:

u(M , t) = a(M )(cos(2πνt −ϕ(M )) −i sin (2πνt −ϕ(M ))).

Если u(M ) – решение (3.1), то и действительная и мнимая части u(M ) – тоже решения. Поэтому за решение (3.1) можно при-

нять функцию u1(M , t) = Reu(M , t) = a(M )cos(2πνt −ϕ(M )) , ко-

торую называют временным гармоническим сигналом.

Замечание. В общем случае поверхность постоянной фазы ϕ(M ) = const не совпадает с поверхностью постоянной амплиту-

ды, при этом говорят, что такая волна неоднородна.

3.5. Решение уравнения Гельмгольца

Пусть уравнению Гельмгольца (3.17) удовлетворяют решения u(M ) и u1(M ), которые являются амплитудами сферической монохроматической волны:


u(M ) =	A		exp(i k r),		(3.19)

	r
u (M ) =		A		exp(−i k r )	(3.20)

1		r

для расходящейся и сходящейся волн соответственно.

Это решение непрерывно в пространстве, где r > 0. Аналогично можно показать, что решение

	u(rM0M ) =			A		exp(± i k rM0M ),
	u(rM0M ) =		rM0M			exp(± i k rM0M ),
			rM0M
где r	= (x − x	)2 + ( y − y		0	)2	+(z − z	0	)2	, также удовлетворяет
M0M	0			0			0

уравнению Гельмгольца. Решения (3.19)–(3.20) называют фунда-

ментальными решениями уравнения Гельмгольца в пространстве r (M ) > 0 или rM0M ≥ 0.

3.6. Обобщенное фундаментальное решение уравнения Гельмгольца

Обобщенным	фундаментальным решением в			области
rM0M ≥ 0 вида	u(M ) =	1	exp(i k rM0M ) называется	решение

rM0M

неоднородного уравнения Гельмгольца:

∆u(M ) + k2u(M ) = −4πδ (M , M0 ),

где δ(M , M

0 )

– дельта-функция. Если ввести сферическую систе-

му координат

центром в точке M0 ,

то в этом случае

∆ =

2 d

∆u(M ) + k

u(M ) =

и решение уравнения

= −4πδ(r) примет более простой вид:

u(r) =	1	exp(ik r)	для r ≥ 0.
	2

Воспользуемся тем, что v (r ) =			1	, r ≥ 0, – это обобщенное
			r

фундаментальное решение уравнения Пуассона ∆v(r) = −4πδ(r ).

Так как u(r) =	1	exp(ik r),	v (r ) =	1	, то v (r ) = u(r)exp(−ik r ) и
				r
	r

полученное решение для v (r ) удовлетворяет уравнению Пуассона

∆ (u(r)exp(−ik r)) = −4πδ(r),					r ≥ 0.
	1	d		2	d
Действительно,			r			(u(r)exp(−ik r))	= −4πδ(r).
	r2				dr
		dr

Вычислим левую часть этого соотношения:

1	d		2 du(r)
		r			exp(−ik r ) − iku(r)exp(−ikr )	=
r2				dr
	dr

1 d

2 du(r)

− iku(r) exp(−ikr )

= exp(−i k r )

2 du(r)

− iku(r)

2u(r)

du(r)

− ik

− iku(r)

= exp(−i k r )

2u(r)

2 du(r)

− k2u(r) − i2k

du(r)

i2k

−

u(r)

Источник: https://studfile.net/preview/16724467/

Смотрите также:




_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога