Материал: Волновое уравнение (96

rM0M =

r2 + r02 −2rr0 cos ϕ,

rM0*M =

r2 + r0*2 − 2rr0* cosϕ.

Тогда

∂G =

∂

1

R

∂

1

−

=

∂r

∂n

r

r

∂r r

M0M

0

M0M

1

r − r cos ϕ

R

1

r

−r cos ϕ

= −

0

+

0

=

r2

rM

M

r0

r2

r

*

M0M

0

M0M

M0M

r0* =

R2

R − r0 cosϕ

R

R

−

R2

cos ϕ

r

=

= −

+

r0

=

R

r

3

r

R3

rM0*P =

rM0P

M0P

0

rM3

r0

0*P

3

rM0P

R2 − r2

= −

0

.

R(R2 + r02 − 2Rr cosϕ)3 2

u (M0 ) =

1

w∫∫

F (P)

R2

− r2

3 2 dσP.

0

4πR

∑R

(R2 + r02 −2Rr0 cos ϕ)

Если перейти в сферическую систему координат, введенную

ранее, то в ней точка

M0 (x0 , y0 , z0 ) будет

иметь координаты

M0 (r0 ,θ0 ,ϕ0 ),

а на

сфере (R, θ, ϕ) –

F (P) = F (θ, ϕ),

OM

0

OP

OM

0

x

y

z

0

cosϕ =

;

=

0

,

0

,

,

OM0

OP

OM0

r0

r0

r0

OP

x

P

y

P

z

P

= (sin θcosϕ, sin θsin ϕ, cos θ),

=

,

,

OP

R

R

R

u (r

, θ

, ϕ

) =

R

2ππ F (θ,ϕ)(R2 −r02 )sin θdθdϕ

, r < R.

0

4π ∫0

∫0

0

0

(R2

+ r02

−2Rr0 cos ϕ)3 2

0

1 ∂2u

= ∆u.

(3.1)

v 2 ∂t2

Покажем, что функция S = S(w), где w = r e −vt; r – радиус-

вектор точки M

с координатами (x, y,

z); e – единичный вектор

с координатами e = (cos α, cosβ, cos γ),

удовлетворяет уравнению

(3.1), если S(w)

– дважды дифференцируемая функция. Действи-

′

′ ′

′

′′

= v

2

′′

тельно, St

= Swwt

= −vSw;

Stt

Sww ;

27

∆S =

∂2S

+

∂2S

+

∂2S

,

(3.2)

∂x2

∂y2

∂z

2

′

′

′

′

′

e −vt ) x =

Sx

= Swwx = Sw (r

′

′

′

α,

= Sw ( xcosα + y cosβ+ z cos γ − vt )x

= Sw cos

′′

′′

2

α,

аналогично

′′

′′

2

β,

Sxx = Sww cos

Sxx

= Sww cos

′′

′′

2

γ,

Sxx

= Sww cos

′′

2

α + cos

2

β+ cos

2

γ)

′′

(3.3)

∆S = Sww (cos

= S (w).

Подставим (3.2),

(3.3) в (3.1), получим

1

v

2

′′

′′

v 2

Sww

= Sww, т. е.

S(w) – частное решение волнового уравнения.

Выясним

свойства

полученного

решения

S(w). Пусть

M (x, y, z)

удовлетворяет уравнению r e = d,

r

– радиус-вектор

точки M (x, y, z), xcosα + y cosβ+ z cos γ − d = 0

– уравнение плос-

кости π

с

нормальным

вектором

e = (cosα, cosβ, cos γ),

t = t получаем

u(M , t ) = S(d − vt ) = const, т.

е. возмущение в

точках плоскости постоянно.

Если e & Ox и e = (1, 0, 0),

то волна распространяется со скоро-

стью v перпендикулярно плоскости

yOz в направлении оси x, а в

общем случае – перпендикулярно плоскости r e = d

в направле-

нии вектора

e .

Выберем

в

качестве

S(w)

функцию

S(w) = Aexp i

2πν

w

, где A = const;

ν – частота. Тогда u(M , t) =

v

= Aexp i

2πν

(r e −vt) = Aexp

−i 2πνt −

2πν

r e

.

Введем

v

v

длину волны

v

= λ. Тогда

ν

28

u(M ,t) = Aexp

−i

2πνt −

2π

r e

.

(3.4)

λ

u (M , t) = Reu(M ,t) = Acos

2πνt −

2π

r e

λ

3.2. Сферическая волна

Рассмотрим волновое уравнение

для

функции u(M , t),

обладающей центральной

симметрией:

u(M , t) = u(r, t), где

r = x2 + y2 + z2 .

1

∂

2

∂

В этом случае оператор Лапласа ∆ =

r

,

а волновое

r2

уравнение принимает вид

∂r

∂r

1 ∂2u

1 ∂

2 ∂u(r,t)

=

r

.

(3.5)

v2 ∂t2

r2

∂r

∂r

′

1

′ ′

1

′

′′

2

1

′′

= r

= −v r

r

ut

Swwt

Sw,

utt = v

Sww,

1

1 ∂

2

∂

1

∆u = ∆

S (w)

=

r

S (w)

=

r2 ∂r

r

∂r r

1

∂

2

1

S (w) +

1

′ ′

=

r

−

=

r2

∂r

r2

r

Swwr

=

1

∂

′

1

′

′

′′

1

′′

r2

∂r

(−S (w) + rSw ) =

r2

(−Sw + Sw + rSww ) =

r

Sww.

1

2

1

′′

1

′′

Подставим их в уравнение (3.1)

и получим

v

v 2

r

Sww =

r

Sww.

Значит, выражение u(r, t) =

1

S (w) есть частное решение уравне-

r

u(r, t) =

1

S (r −vt )

(3.6)

r

2πν

Пусть

S(w) = Aexp i

w

,

тогда решение (3.6) имеет вид

v

A

2πν

A

2πν

u(M , t) =

exp i

w

=

exp i

(r −vt)

,

r

v

r

v