Документ: Введение в математический анализ. Учебное пособие. Батаронов И.Л., Провоторова Е.Н, страницы 51-55

y

	x=3
	x
g
o	2
o
l
=
y

0 1 3

y

x=3

2

1

0 3

y

					3										)
					3									2
					x=							1
											-
											x
										(
										4
									g2
							o
				)			l
				)		=
			3			y										)
			-			y										)
		x													3
		(													-
	g2													x
	g2												(
o											g2
l					2						g2
y=					2					lo
									=
								y

4 x 0

							а)
					)			y
					3
				-
				x
			(
		g
	o			2
	o
	l
	2						)
=							)
=						-
y						3
y					x
					(
				g2
		o
		l
	=
y
4 5						x		0
							в)
y					3
					x=
	y=log\|2 x-3\|

3 4

x

б)

x=3
y=\|log2(x-3)\|
						)
					3
					-
				x
				(
			g2
		o
		l
	=
	y
3 4						x

г)

					)
				3
			-
			x
			(
		g2
		o
	l
	=
	y
0 2 3 4				x

д) Рис. 48

Функция не обязательно должна быть задана явно – уравнением y

f

x . Она может

быть определена также неявно – уравнением F x, y

0 или параметрически.

Пусть заданы функции

t

и

t

, непрерывные на некотором промежутке I

число-

вой оси. Уравнения

x

t

,

y

t ,

t

I

называются параметрическими уравнениями кривой

в декартовой прямоугольной системе

координат,

если выполнено следующее условие: для всякого значения параметра t I

точка

M

t ,

t

принадлежит кривой

и,

наоборот,

для всякой точки M

x, y

кривой

су-

ществует такое значение параметра t

I , что x

t

и y

t .

Исключением параметра

t

из параметрических уравнений уравнение кривой может

быть представлено в неявном виде F

x, y 0 .

Пример 2. Исключением параметра t найти уравнение заданной кривой и построить

эту кривую

x

a cos t,

y

a sin t,

t

0, 2 .

Решение. Если точка M

x, y

такова, что x

a cost и y a sin t для некоторого значе-

ния t

0, 2

, то

x2

y2

a2 cos2 t

a2 sin2 t

a2 ,

т.е. точка M x, y принадлежит окружности x2 y2 a2 , график которой известен. График

также можно получить непосредственно из параметрических уравнений, воспользовавшись таблицей

t

0

6

4

3

2

x

a

a 2

0

3a 2

2a 2

y

0

a 2

a

2a 2

3a 2

и свойствами функций cost

и sin t

при рассмотрении остальных значений параметра t .

3.4. Задачи

Группа А

1. Найти области определения функций.

1)	f	x					lg3x					.

				x			3 lg x				1

3)	f	x				x	3		.
3)	f	x							.
				cos x

5)	f	x			lg x					1	1 .
7)	f	x	arcsin					x		1	.
7)	f	x	arcsin							3	.
										3

					lg		x	1		.
2)	f	x	9	x2			x	1
2)	f	x	9	x2			x	2
							x	2
4)	f	x	lg x	2	3				.


						x		4
						x		4

6)f x arctg 2x .

8)f x lg 2 x x2 .

x2

2x 1

1

9)

f

x

.

10) f

x

2 .

x3 1

lg 1 x

2. Найти множества значений функций.

f x

x2

1.

1)

2) f x

x 1 .

3)

f x

1

.

4) f x

lg 1 x .

x

5)

f

x

1

sin x .

6)

f

x

2 x 1 .

2

7)

f

x

x2

1 .

8)

f

x

2cos x .

9)

f

x

arcsin x 2 .

10)

f

x

arctgx .

3. Построить графики функций.

3) y 3x2

1)

y 2

x

1.

2) y 3

x 1

2 .

x

2 .

x2

5) y

x2

4

6) y

x2

x

4)

y

6x 1

.

7)

y

2x 4

.

8) y 2 3

x

.

9) y

x2

2x 3

.

10)

.

y

4

2

x

Группа Б

1. Найти области определения и множества значений функций.

												1		x	2
1)	y		ln 1		x .	2)	y	arcsin				1		x	2	.

														2
														2
								arccos			1			2x	.
3)	y		lg 5x		x 2 6 .	4)	y				1			2x
3)	y		lg 5x		x 2 6 .	4)	y
												4
5)	y	e x2		2 .		6)	y	2arccos 1					x .

7)	y	ln 1		2cos x .		8)	y	1	x	.
7)	y	ln 1		2cos x .		8)	y	1	x	.

9)	y		arcsinlg					x	.			10)		y			arccos				2x
9)	y		arcsinlg						.			10)		y			arccos					x2
							10														1	x2
		2. Построить графики функций.

1)	y	lg			x	3 .					2)	y		ln	x		2			.	3)	y
4)	y		x	tg x						.	5)	y		x 1					.		6) y



			x				2							x

7)	y		log1 2 3					x		.	8)	y	21			x		.			9)	y

.

e	x	2	.	4 x	.

2		sin
				2

arctg x .

10)y x arctg x .

3.Воспользовавшись графиками функций y f x и y g x , построить графики

функций y

f

x

g

x и y

f

x

g

x .

1.

f x

2x 3 , g x

ln x 2 . 2. f x

x , g x

ln x .

3.

f

x

3x

1 ,

g

x

ex .

4.

f

x

1

x2 ,

g

x

sin x .

x2

g

x

cos x .

g

x

arctg x .

5.

f

x

1 ,

6.

f

x

1 ,

f

x

2x , g x

cos 2x .

g

x

sin x .

7.

8. f

x

2x

,

9.

f

x

1

,

g

x

ex .

10.

f

x

1

, g

x

ln

x

1 .

x

1

4. Построить графики функций y

sign f

x

, y

f

x

, y

f x и y

f x .

1.

f

x

3arctg x ; 2.

f

x

5sin

x

3 ; 3.

f

x

2

3cos x ;

0, 25x2

ex

4.

f x

x 1 2 ; 5. f x

2 ; 6. f x

1 ;

f

x

2 arcctg x

2 ;

7.

8.

f

x

1

x

3 ;

9.

f

x

ln

x

1 ;

10.

f

x

2sin x

1 .

5. Найти

f

x

, если

f x 1 x2

3x 2 ;

1

x2

1

1.

2. f x

,

x

2 ;

x

x2

1

x

3.

f

x

1 x2

, x 0 ;

4. f

x2 ;

x

1

5.

f x 1

x

;

6. f

1

x 1

;

2

x

1

7.

f x 2

3x

3

;

8. f x 1

x

;

x 4

x3

1

9.

f

x

1

lg x ;

10. f

sin x

cos 2x

tg x .

x

Группа В

1. Построить графики функций, заданных параметрически.

1)	x	1	t,	2)	x	4 cos3 t,
	y	1	t 2.		y	4 sin3 t.

4)	x	cht,		5)	x	2 t	sint ,
	y	sht.			y	2 1	cost .

7)	x	2R cos2 t, t				2,	2 .
	y R sin 2t.

3)	x	10cost,
	y	sint.

6)	x	5 cos2 t,
	y	3sin2 t.

8)	x	2cost	1,
	y	2sint	3.

9)

x

1 2sect,

t

2,

2 .

10)

x

t

1 t ,

y

1 tgt,

y

t 1 t2 .

2. Воспользовавшись графиками функций

y

f

x и y g x , построить графики су-

перпозиций функций y

f g x

и y

g

f x .

f

x

cos x , g

f

x

arctg x ,

x2 ;

1.

x

x ;

2.

g

x

3.

f

x

arcsin x ,

g

x

ln x ;

4.

f

x

sin x ,

g

x

x2 ;

5.

f

x

arcctg x ,

g

x

ex ;

6.

f

x

arccos x ,

g

x

ln x ;

f

x

sin x , g

x

ln x ;

f

x

arcsin x ,

7.

8.

g

x

x ;

9.

f

x

arccos x ,

g

x

ex ;

10.

f

x

cos x ,

g

x

ln x .

3. Для каждой из нижеприведенных функций записать аналитическое выражение, найти

область определения и множество значений, а также построить график соответствующей обратной функции.

1.

y

1 x2 , 0 x 1;

2. y 2x2

1, x 0 ;

3.

y

1

x

,

x

1;

4.

y

sh x , где sh x

1

ex

e

x ;

1

x

2

5.

y

ch x , где ch x

1

ex

e x

,

x

0 ;

6.

y

4x

x2 ,

x

2 ;

2

7.

y

4

x

,

x

3;

8.

y

th x , где th x

sh x

;

3

x

ch x

2x

9.

y

3x

x

2 , x

2 ;

10.

y

, x

1.

1

x2

4.ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

4.1.Определение предела функции

Впервые определение предела функции было дано О.Коши в 1821 г.

Пусть функция

f

x

определена на некотором множестве X . Рассмотрим последова-

тельность точек

xn

, сходящуюся к точке a , при этом a может и не принадлежать множест-

ву X . Соответствующие значения функции в точках этой последовательности также образуют

числовую последовательность

f

xn .

Определение 1 (по Гейне). Число

A называется пределом функции

f x

в точке a

(при x

a ), пишут lim f

x

A , если для любой сходящейся к a последовательности значе-

x

a

ний аргумента

xn ,

отличных от a , соответствующая последовательность значений функции

f

xn

сходится к числу A .

Функция

f x

может иметь в точке только один предел, так как последовательность

xn

имеет только один предел.

Определение 2 (по Коши). Число

A называется пределом функции

f x

в точке a

(при x

a ), пишут lim f

x

A , если для любого числа

0 существует такое число

0 ,

x

a

что

для

всех

x

X

( x

a ),

удовлетворяющих неравенству

x

a

,

выполняется

f

x

A

.

Определение 3 (геометрическое определение предела функции). Число A называется

пределом функции f

x ,

если для любой

окрестности точки A найдется такая

окре-

стность точки a , что для всех x

a из этой

окрестности соответствующие значения функ-

ции лежат в

окрестности точки A , т.е. точки графика функции f

x

лежат внутри полосы

шириной 2	, ограниченной прямыми y	A , y A . Очевидно, что величина зависит
от выбора	(рис. 49).
		Рис. 49
Пример 1. Доказать, что lim sin x		0 .
	x 0

y

A+

			)
		x
	f(
=
y

A
A-
0	a-	a	a+	x

Решение. Воспользуемся неравенством

sin x

x

x R . Зададим произвольное

0

sin x

x

и положим

. Тогда, если

x

, то

. Это и означает (согласно определе-

нию предела функции по Коши), что lim sin x

0 .

x

0

Пример 2. Доказать, что функция sin x не имеет предела при x

.

Решение. Докажем, что эта функция не удовлетворяет определению предела функции

при

x

по Гейне. Для этого укажем такую бесконечно большую последовательность

xn

,

что

последовательность

sin xn

расходится.

Положим

xn

2n

1 .

Тогда

2

lim xn

,

а последовательность

sin xn

1, 1,

1, 1, расходится. Отсюда следует, что

n

функция sin x не имеет предела при x

.

Теорема 1. Первое и второе определения предела функции эквивалентны.

В определении предела функции считается, что x стремится к a

любым способом, оста-

ваясь меньше или больше, чем a . Если способ приближения аргумента x

к a

существенно

влияет на значение предела, то рассматриваются односторонние пределы.

Определение 4. Число A называется правым (левым) пределом функции f

x

в точке a

при x

a , пишут

lim

f

x

A (

lim

f

x

A ),

если для любого числа

0 существует

x

a

0

x

a

0

такое

число

0 , что

для

всех

x

X ,

удовлетворяющих неравенству

0 x

a

(

x a

0), выполняется неравенство

f

x

A

.

Теорема 2. Для того, чтобы функция

f

x

имела в точке a предел, необходимо и доста-

точно, чтобы в этой точке существовали левый и правый пределы и чтобы они были равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам

lim	f x	lim	f x	lim f x .
x a	0	x a	0	x a
Пример 3. Пусть

	f	x	x,		x	0,
	f	x	sin x,		x	0
			sin x,		x	0
и не определена при x 0 . Существует ли lim f				x	?
		x	0
Решение. Вычислим в точке a		0 односторонние пределы функции
f a	0	lim	sin x		lim sin x 0 ;
		x 0	0		x	0
f	a	0	lim	x	lim x 0 .

x 0 0

x 0

Материал: Введение в математический анализ. Учебное пособие. Батаронов И.Л., Провоторова Е.Н

Смотрите также: