Материал: Введение в математический анализ. Учебное пособие. Батаронов И.Л., Провоторова Е.Н

1.

Даны

множества

A 0, 1, 2, , 7

,

B

3, 4, , 9 , C

3, 2, , 3, 4 ,

D 2, 3, 4, 5, 6 . Определить элементы множеств:

1)

A B C D ,

2) A B C D ,

3)

A B C D ,

4) A B C D ,

5)

A \ B B \ A ,

6) A B \ C ,

7)

C \ A D ,

8) A C D ,

9)

A \ C D ,

10) B \ D A \ C .

2. Изобразить на числовой оси множества A B ,

A B ,

A \ B , B \ A .

1)

A

4

, 1 , B

3

, 2 .

2) A

1

,

1

, B

1

, 2 .

5

4

2

3

3

3)

A 1, 2 , B 1, 4 .

4) A 0,

5

, B

4

, 1 .

2

7

5)

A

1

,

2

, B

1

, 2 .

6) A

2, 4 , B 3, 7 .

3

3

3

7)

A

5

, 0 , B

1

, 3 . 8) A

3, 1 , B 0, 4 .

2

2

9)

A

4, 0 ,

B

2, 7 .

10)

A

3

, 2 ,

B

7

, 3 .

2

6

3. Являются ли данные отображения f

x

множества R взаимно однозначными? Найти обратные к

ним.

1)

f x

2x 3 , 2) f x

4x 1 , 3) f x

2 3x ,

4)

f x

5x 1, 5) f x

2 4x , 6) f x

7x 4 ,

7)

f x

3 5x , 8) f x

6x 5 , 9) f x

1 2x ,

10)

f

x

4

6x ,

11)

f

x

1 x3 ,

12)

f

x

ex

1 ,

1

f

x

ln

x

2 ,

13)

f

x

x

1 ,

14)

f

x

,

15)

x

1

e2x

1

16)

f

x

1,

17)

f

x

3 x

1 , 18)

f

x

1

,

x

f

x

ln

x

1 .

19)

f

x

1

x

2 ,

20)

4. Построить суперпозиции g f и

f g следующих отображений.

1)

f x

13 6x

,

g x

x2

6x 1;

2

3x

2)

f x

11 3x

,

g x

x2

4x 1;

2

3x

3)

f x

6x 5

,

g x

x2

8x 3 ;

3x

2

4)

f x

3x 7

,

g x

x2

2x 5 ;

2x

3

5)

f x

3 x

,

g x

x2

4x 3 ;

3

2x

6)

f x

7 3x

,

g x

x2

10x 2 ;

4

3x

7)

f x

4 3x

,

g x

x2

6x 7 ;

2

x

8)

f x

3x 1

,

g x

x2

5x 3 ;

5x

4

9)

f x

4x

,

g x

x2

x 8 ;

2x

3

10)

f

x

11

4x

, g

x

x2

7x

4 .

3

2x

5. Перечислить элементы множеств A

B и B

A .

1)

A

1, 3

,

B

2, 3, 4

;

2)

A

3, 2,1 ,

B

4,1

;

3)

A

4, 3

,

B

1, 3, 5

;

4)

A

3, 5, 6 ,

B

4, 6

;

5)

A

1, 5

,

B

2, 5,8

;

6)

A

7, 2, 3

,

B

3, 5

;

7)

A

2,5

,

B

1,5, 4

;

8)

A

5,8,1 ,

B

6,8

;

9)

A

9, 2

,

B

2, 4, 7

; 10)

A

4, 6, 7

,

B

7, 2 .

R

x, y : x x2

y y2

1)

, 2) R

x, y : y

x

,

3)

R

x, y

: xy 1 ,

4) R

x, y : x2

y2

1 ,

5)

R

x, y : x2

y2 ,

6) R

x, y : x2

4y2

1 ,

7)

R

x, y

: x 2 y 3 ,

8) R

x, y : 3x y 2 ,

9)

R

x, y : x

y2

1 ,

10) R

x, y : x3

y .

7. Какому из множеств N, Z, Q, I принадлежат числа?

1)

15 ,

2) sin30 ,

3)

cos30 ,

4)

tg30 ,

5)

0,75 ,

6)

3 7 ,

7) lg5 , 8)

lg2 lg5 ,

9)

3 5 ,

10)

4 3 .

8. Решите неравенства.

1)

x

2x 3

1 ,

2)

x 5

x

,

3)

x 1

3x 1

2 ,

4)

2x 4

1,

x 5

3 ,

x

x 3

1

,

5)

6)

2

7)

3x 1

1

,

8)

x

1

1

,

3

3

4

1

9)

2x

1,

10)

5x

1

3 .

4

Группа Б

1. Даны множества

A

1

,

B

1

,

C

1

, где

n N .

n

2n

2n

1

Определить элементы следующих множеств.

1) A \

B \ C C \ B ,

2) A B \ C C \ B ,

3)

A \ C C \ A C ,

4)

A \ B B \ A C ,

5)

A \ C C \ A B ,

6)

A \ B B \ A B ,

7)

A \ C C \ A \ B ,

8) A \

A \ B B \ A ,

9)

A

B \ C C \ B

,

10)

B \ C C \ B \ C .

A \ B A

3)

A B

A B ,

4)

B

,

5)

A \ B A B ,

6)

A A \ B

A B ,

7)

A \ B A B A ,

8) A \ B A B

,

9)

A \ B B ,

10)

A \ B A \

A B ,

1)

R

a,b : a b , A 1, 2, 3, 4, 5 ;

2)

R

a,b : b

a

1 , A

5, 6, 7,8,9

;

3)

R

a,b : a

b делится на 2 ,

A

1, 2, 3, 4, 5

;

4)

R

a,b :

3

делится на a

b ,

A

1, 2,3, 4,5

;

5)

R

a,b : a

b

0

,

A

4,

1,3, 7,8

;

6)

R

a, b : ab

0

,

A

7, 2,

3, 4, 5

;

7)

R

a,b : a b 0 , A 6, 2, 7, 4, 5 ;

8)

R

a,b : a

b делится на 3 ,

A

1, 6,8, 4,5 ;

9)

R

a,b :

7

делится на a

b ,

A

8, 6,3, 4,5

;

10) R

a,b :

a

b

0

,

A

2,

1,3, 2,1 ;

1)

R

x, y : x2 2y , R

x, y : x y 1 ;

1

2

2)

R1

x, y : y

x

, R2

x, y : 2x y 1 ;

4) R

x, y : x2 y2 1 , R

x, y : 2x 3y 3 ;

1

2

5)

R

x, y : x2

y2 , R

x, y : y x 1 ;

1

2

6)

R1

x, y : x 2 y , R2

x, y : x 2 y 7 ;

7)

R

x, y : x2

y2

1 , R

x, y : 2x y 1 ;

1

2

8)

R

x, y : x3

y 0 , R

x, y : x 7 y 4 ;

1

2

9)

R

x, y : x y2 , R

x, y : 2x y 2 ;

1

2

10) R

x, y : x2

y , R

x, y : x 2 y 3 .

1

2

5. Для данных множеств указать граничные точки, точки прикосновения, предельные точки, изолирован-

ные точки.

1)

A

,1

5,10 20, 30, 40

,

2)

A

2,1 2, 4

6,8

,

3)

A

9, 0 1,3

5, 6, 7,8 ,

4)

A

25,

5

1,1 2,3, 4,5

,

5)

A

5,1 2, 4

10,

,

6)

A

2, 3, 4

5, 25

55,

,

7)

A

3,1

1,3,5 5,9

,

8)

A

,

4

0,1, 3

3,

,

9)

A

4,

2,

2, 2

2,8

,

1. Доказать следующие равенства:

1)

A B \ C

A B A C ,

2)

A B B A

A ,

3)

A \ B A \ B

A B \ A B ,

4)

A \ B A \ B

B A A B ,

5)

A \ A \ B

A B ,

6)

B A \ B

A B ,

7)

A \ B B \ A

A B \ A B ,

8)

A \ B A \ C

A \ B C ,

9)

A C \ B

A C \

B C ,

10)

A B C

B

A C C A B

2)

Пусть X - множество неотрицательных, а Y - множество действительных чисел. Каждому x X по-

ставим в соответствие такое y

Y , что y4 x . Является ли это соответствие отображением? Будет ли это со-

ответствие отображением, если Y - множество неотрицательных чисел?

3)

Пусть X - множество неотрицательных рациональных чисел и Y X . Каждому x X поставим в со-

ответствие такое y Y , что y2

x . Является ли это соответствие отображением X в Y ?

4)

Пусть X - множество всех окружностей на плоскости, а Y - множество точек этой плоскости. Каждой

окружности поставим в соответствие ее центр. Является ли это соответствие отображением X на Y ? Является

ли оно взаимно однозначным?

5)

Пусть X - множество всех точек плоскости, а Y - множество точек оси ординат. Каждой точке

x X

поставим в соответствие ее проекцию на ось ординат. Является ли это соответствие отображением

X

на Y ?

Является ли оно взаимно однозначным? Что является полным прообразом точки y Y ?

6)

Пусть X - множество всех точек плоскости и l - прямая на этой плоскости. Каждой точке x

X поста-

x3

x1

y

x2

1

y2

l

x3

y

x1

2

x4

x5

y3

x2

y3

x

y1

6

Рис. 6

Рис. 7

7)

На рис. 7 стрелки идут от x

к y f

x . Найдите f

X . Является ли это соответствие отображением

X на Y ? Является ли оно взаимно однозначным? Чему равны прообразы элементов y1 и y2 ?

8)

Пусть X - множество студентов в аудитории, а Y - множество столов в аудитории. Каждому студенту

10)

Докажите, что если f

- отображение

X на Y ,

g - отображение Y на Z , то g f - отображение X

на Z .

3. Доказать, что нижеприведенные числа иррациональны.

3 ,

1) 2

3 ,

2)

5

3)

log 5 ,

4)

3 2 ,

5) lg2 ,

2

6) sin10 ,

7) cos20 ,

8)

tg1 , 9)

2

3 ,

10)

n .

2

4. Для каждой строки таблицы найти пример отношения, обладающего (+) или не обладающего (-) тем

или иным свойством, или доказать, что такого соотношения не существует.

№

Рефлек-

Антиреф-

Симмет-

Антисим-

Связан-

стро-

сивность

лексив-

ричность

метрич-

ность

ки

ность

ность

1