Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
ПЕТРОЗАВОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Е. К. Белый
Введение в теорию массового обслуживания
Учебное пособие для студентов, обучающихся по направлению «Информационные системы и технологии»
Петрозаводск Издательство ПетрГУ 2014
1
УДК 519.21 ББК 22.172 Д439
Печатается по решению редакционно-издательского совета Петрозаводского государственного университета
Издается в рамках реализации комплекса мероприятий Программы стратегического развития ПетрГУ на 2012—2016 гг.
Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, профессор каф. геометрии и топологии ПетрГУ
С. С. Платонов; д-р эконом. наук, зав. отделом моделирования и прогнозирования
регионального развития института экономики КарНЦ РАН
П. В. Дружинин
Белый, Евгений Константинович.
Б439 Введение в теорию массового обслуживания : учебное пособие для студентов, обучающихся по направлению «Информационные системы и технологии» / Е. К. Белый. – Петрозаводск : Издательство ПетрГУ, 2014. – 76 с.
ISBN 978-5-8021-2203-7
Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлению «Информационные системы и технологии», а также для всех интересующихся теорией массового обслуживания и владеющих математическим аппаратом в рамках вузовского курса высшей математики и теории вероятностей.
УДК 519.21 ББК 22.172
|
© Белый Е. К., 2014 |
ISBN 978-5-8021-2203-7 |
© Петрозаводский государственный универ- |
ситет, 2014 |
|
|
2 |
.
Содержание
Введение |
4 |
Глава 1. Входящий поток |
9 |
§ 1.1. Определение простейшего потока . . . . . . . . . . . . . |
11 |
§ 1.2. Уравнения простейшего потока . . . . . . . . . . . . . . . |
12 |
§ 1.3. Свойства простейшего потока . . . . . . . . . . . . . . . |
18 |
§ 1.4. Простейший нестационарный поток . . . . . . . . . . . . |
21 |
Глава 2. Марковская модель СМО |
26 |
§ 2.1. Уравнения Колмогорова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
29 |
§ 2.2. Одноканальная СМО с отказами . . . . . . . . . . . . . . |
31 |
§ 2.3. Дублированная СМО с восстановлением . . . . . . . . . |
38 |
§ 2.4. СМО с приоритетными заявками . . . . . . . . . . . . . |
44 |
Глава 3. Процессы гибели и размножения |
55 |
§ 3.1. Формулы Эрланга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
56 |
§ 3.2. Многоканальная СМО с отказами . . . . . . . . . . . . . |
58 |
§ 3.3. Одноканальная СМО без ограничений на длину очереди |
62 |
§ 3.4. Одноканальная СМО с ограничением на длину очереди |
66 |
§ 3.5. Одноканальная СМО с нетерпеливыми заявками . . . . |
67 |
§ 3.6. Замкнутая одноканальная СМО . . . . . . . . . . . . . . |
68 |
Биографические справки |
72 |
Список литературы |
75 |
3
То и дело раздаются голоса, утверждающие, будто главная задача обучения математике в школе и вузе – это научить людей логически мыслить. Отсюда чрезмерная формализация математических дисциплин, изложение их в отрыве от задач практики. Слов нет, привычка к логическому мышлению – хорошее дело, но у математики есть и другие задачи: активного вмешательства в практику, разумной организации производственных и иных процессов. Жизнь непрерывно требует от математика ответа на вопрос, как поступить в том или другом случае, при тех или других сложившихся обстоятельствах. И дело его чести – не уходить от этих требований в пучину абстракций, а по мере сил удовлетворять их.
Е. С. Вентцель
Теория массового обслуживания родилась в датском королевстве в начале XX века под именем «Теория очередей». Первые идеи теории были высказаны директором Копенгагенской телефонной компании Фредериком Йохансоном в 1907 году в статье «Время ожидания и число вызовов». Затем идеи были математически развиты и оформлены инженером той же компании Агнером Эрлангом. Опубликованную им в 1909 году статью «Теория вероятностей и телефонные переговоры» принято считать краеугольным камнем в фундаменте теории. В 30-х годах теорией очередей серьезно занялся Александр Яковлевич Хинчин в связи с автоматизацией московской городской телефонной сети. В на-
4
учной литературе прижился введенный тогда Хинчиным термин «теория массового обслуживания» (ТМО), а предмет исследований вскоре стали называть системами массового обслуживания (СМО). ТМО опиралась на фундаментальные работы в области теории случайных процессов Андрея Андреевича Маркова, Андрея Николаевича Колмогорова и ряда других математиков.
Хотя все началось с телефона, вскоре на ТМО обратили внимание представители ряда наук, далеких от проблем связи. Оказалось, что в модели СМО вписываются многие реальные явления: от железнодорожных касс до противовоздушной обороны и процессов, протекающих в компьютере. С системами массового обслуживания мы сталкиваемся буквально на каждом шагу. СМО
– это торговля, общественное питание, транспорт, бани, банки, страховые компании, налоговая инспекция, парикмахерские, индустрия развлечений, ремонтные мастерские, здравоохранение, образование и т. д.
Что же представляет собой СМО? Это система, реализующая многократное выполнение однотипных задач. Для любой такой системы характерен, по крайней мере, один входящий поток – поток заявок на обслуживание, множество каналов обслуживания и как минимум один выходящий поток – поток обслуженных заявок. СМО может быть значительно сложней. Выходящие потоки обслуженных заявок, заявок, получивших отказ и заявок, обслуживание которых было по той или иной причине прервано
5